College-Physics-2

Chapter 11 真空中的静电场

数学工具

势函数的梯度

三维直角坐标系

$$\nabla V = \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z}$$

球坐标系

$$\nabla V = \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V}{\partial \phi}$$

平面极坐标系

$$\nabla V = \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta}$$

向量点乘的梯度

对于两个向量场 $\mathbf{a}(\mathbf{r})$ 和 $\mathbf{b}(\mathbf{r})$，它们的点积 $f(\mathbf{r}) = \mathbf{a}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{b}(\mathbf{r})$ 的梯度公式为：

$$\nabla\left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right) = (\nabla \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} + (\nabla \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} + \mathbf{a} \times (\nabla \times \mathbf{b}) + \mathbf{b} \times (\nabla \times \mathbf{a})$$

向量场的梯度矩阵

直角坐标系

假设有一个三维向量场 $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F_x(\mathbf{r}) \hat{i} + F_y(\mathbf{r}) \hat{j} + F_z(\mathbf{r}) \hat{k}$，向量场的梯度是一个二阶张量，表示向量场在空间中的变化。其表达式为：

$$\nabla \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_x}{\partial x} & \frac{\partial F_x}{\partial y} & \frac{\partial F_x}{\partial z} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial y} & \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_z}{\partial y} & \frac{\partial F_z}{\partial z} \end{bmatrix}$$

描述向量场的每个分量 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的变化率。

球坐标系

设向量场 $\mathbf{F}(r, \theta, \phi) = F_r \hat{r} + F_\theta \hat{\theta} + F_\phi \hat{\phi}$​，在球坐标系中，向量场的梯度为：

$$\nabla \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_r}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial F_r}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_r}{\partial \phi} \\ \frac{\partial F_\theta}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi} \\ \frac{\partial F_\phi}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial F_\phi}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} \end{bmatrix}$$

描述向量场的每个分量 $F_r$、$F_\theta$、$F_\phi$ 在 $r$、$\theta$、$\phi$ 方向上的变化率，并且由于球坐标系的几何特性，涉及额外的缩放因子 $\dfrac{1}{r}$ 和 $\dfrac{1}{r \sin \theta}$。

向量场的散度

直角坐标下向量场的散度

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$$

球坐标下向量场的散度

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 E_r \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta E_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial E_\phi}{\partial \phi}$$

11.1 电学基本概念

库仑定律

$$\boldsymbol{f}=\dfrac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\boldsymbol{e}_r$$

电力叠加原理

$$\boldsymbol{f} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{f}_i = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{qq_i}{r_i^2} {\boldsymbol{e}_r}_i = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{qq_i}{r_i^3} \boldsymbol{r}_i$$

11.2 电场与电场强度

电场强度

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\boldsymbol{f}}{q_0}$$

电场强度的计算

• 点电荷的电场

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\boldsymbol{f}}{q_0} = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\boldsymbol{e}_r = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^3}\boldsymbol{r}$$

• 点电荷系的电场

$\boldsymbol{E} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{E}_i =\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{r_i^2} {\boldsymbol{e}_r}_i = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{r_i^3} \boldsymbol{r}_i$

• 连续分布电荷系统的电场

$\boldsymbol{E} = \int dE = \int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r} = \int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r$

• 具体的集中情况

  • 电荷体密度为$\rho$的三维体电荷分布:

    $$dq = \rho dV$$

    $$\boldsymbol{E} = \iiint \dfrac{\rho dV}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

  • 电荷面密度为$\sigma$的二维面电荷分布：

    $$dq = \sigma dS$$

    $$\boldsymbol{E} = \iint \dfrac{\sigma dS}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

  • 电荷线密度为$\lambda$的一维线电荷分布：

    $$dq = \lambda dl$$

    $$\boldsymbol{E} = \int \dfrac{\lambda dl}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

非均匀电场中带电体受力

$$\vec{F} = \int d\vec{F} = \int \vec{E} dq$$

若带电体为电荷线密度为$\lambda$的一维线电荷分布

$$\vec{F} = \int \vec{E} \lambda \, dl$$

11.3 高斯定理

电通量

通过面积元 $d \boldsymbol{S}$ 的电通量为

$$d \Phi_e = \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S}$$

对于电场中任一封闭曲面$S$，电通量为

$$\Phi_e = \oiint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$$

高斯定理

$$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = \dfrac{1}{\epsilon_0} \sum_{i=1}{n} q_i$$

如果电荷分布是连续体分布，则有

$$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = \dfrac{1}{\epsilon_0} \iiint_{V} \rho dV$$

高斯定理可以方便地解决具有电荷分布具有对称性的情况。常见的对称性模型包括：

• 球对称
  • 均匀带电球面
  • 电荷分布为球对称的球体或球壳
• 柱对称
  • 无限长均匀带电圆柱体
  • 无限长均匀带电圆柱面
  • 无限长均匀带电直线
• 面对称
  • 无限大均匀带电平板
  • 无限大均匀带电平面

除了考虑模型的对称性，选取高斯面还要注意：

• 高斯面要经过所求场点
• 形状应该规则（方便计算）：球，柱
• 平行原则：尽可能使高斯面上的点的场强大小相等，且方向与高斯面法向方向一致
  • 这样的高斯面上$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S}$就可以直接简化为$E \cdot S$
• 垂直原则：尽可能使高斯面上的点的场强方向与高斯面法向垂直
  • 这样的高斯面上$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = 0$

微分形式

电场强度的散度与电荷密度成正比（比值为真空介电常数）

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

球坐标系下

$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2E_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta E_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\phi}{\partial\phi} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

11.4 电势

静电场环流定理

$$\oint_{L} \vec{E}d \vec{l} = 0$$

这说明静电场是保守力场

电势能

$$W_a = A_{a p_0} = \int_{a}^{p_0} \vec{F} d\vec{l} = \int_{a}^{p_0} q_0 \vec{E} d \vec{l} = q_0 \int_{a}^{p_0} \vec{E} d \vec{l} = q_0 V_a$$

• $p_0$为零势能点或零势能面，一般默认无穷远处为电势零点，取$p_0= \infty$

电势差

$$V_{ab} = \dfrac{W_a-W_b}{q_0} = V_a - V_b = \int_{a}^b \vec{E} d \vec{l}$$

电势差与电场力做功的关系

$$A_{ab}=q \int_{a}^b \vec{E} d \vec{l} = q(V_a-V_b)$$

电势

$$V_a = \int_{a}^{p_0} \vec{E} d \vec{l}$$

• $p_0$为零势点或零势面，一般默认无穷远处为电势零点，取$p_0= \infty$
• （常用）面对称情况：$V(r)=-\int_{r_0}^{r} Edx$
• （常用）球对称情况： $V(r) =- \int_{r_0}^{r} Edr$

点电荷电势

$$V = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

电势叠加原理

任意场点的电势等于各个点电荷在同一场点的代数和

$$V=\sum_{i=1}^{n}V_i = \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{4 \pi \epsilon_0 r_i}$$

对于连续电荷分布带电体的电势，有

$$V=\int dV=\int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

电势与电场强度的微分关系

$$\boldsymbol{E} = -\dfrac{dV}{dl_n}\vec{e_n} = - \nabla V$$

直角坐标系:

$$\boldsymbol{E} = -(\dfrac{\partial V}{\partial x} \vec i+\dfrac{\partial V}{\partial y} \vec j+\dfrac{\partial V}{\partial z} \vec k)$$

平面极坐标系：

$$\boldsymbol{E} = -(\dfrac{\partial V}{\partial r} \vec e_r+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta} \vec e_\theta)$$

11.5 常用模型及解题技巧

电偶极子模型

定义电偶极矩：$\vec p = q \vec l$，方向为$-q$指向$+q$，且有 $p = ql$

电偶极子在P点的电势：

$$V = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{r_--r_+}{r_-r_+} \approx \dfrac{qlcos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}= \dfrac{\vec p \cdot \vec r}{4 \pi \epsilon_0 r^3} = \dfrac{p cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$

在对电势$V$求偏导得到电场强度沿着极坐标系的分量

$$\boldsymbol{E} = -(\dfrac{\partial V}{\partial r} \vec e_r+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta} \vec e_\theta) =\dfrac{p cos \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} \vec e_r + \dfrac{p sin \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \vec e_\theta$$

再代入几何关系

$$\vec{e_{\theta}} = -\dfrac{1}{\sin \theta} \vec{e_p} + \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \vec{e_r}$$

可得电场强度沿着$\vec{r},\vec{p}$​的分量

$$\mathbf{E} = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^3}[- \vec p + \dfrac{3(\vec r \cdot \vec p)\vec r}{r^2}]$$

也可以把电势$V$​转换到直角坐标系再求偏导，或者使用极坐标系和直角坐标系单位向量的关系（看清楚这边的$\theta$​指的是哪个角），得到电场强度沿着直角坐标系的分量

这边用几何关系来计算

$$\vec{e_r} = \sin \theta \vec{i} + \cos \theta \vec{j} \\ \vec{e_\theta} = \cos \theta \vec{i} - \sin \theta \vec{j}$$

从而得到

$$E_x = \dfrac{p \cos \theta \sin \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} + \dfrac{p \sin \theta \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} = \dfrac{3 p \sin \theta \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \\ E_z = \dfrac{p \cos^2 \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} - \dfrac{p \sin^2 \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} = \dfrac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^3} (3\cos^2 \theta - 1)$$

均匀外场中的电偶极子

受的静电场力为零$\vec{F} = 0$

力偶矩为$M = Fl sin\theta = qElsin \theta = pEsin \theta$, $\vec M = \vec p \times \vec E$

电势能为$W = W_+ + W_- = q(V_+ + V_-) = -qElcos \theta = -pE cos \theta= - \vec p \cdot \vec E$

非均匀外场中的电偶极子

电势能仍然为

$$W = - \vec{p} \cdot \vec{E}$$

力矩仍然为

$$\vec{M} = \vec{p} \times \vec{E}$$

非均匀外场中电偶极子存在静电场力

$$\vec{F} = - \nabla W = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}$$

---

上面这个式子推导过程如下

$$\vec{F} = -\nabla\left( - \mathbf{p} \cdot \mathbf{E} \right) = \nabla\left(\mathbf{p} \cdot \mathbf{E} \right) \\ = (\nabla \mathbf{p}) \cdot \mathbf{E} + (\nabla \mathbf{E}) \cdot \mathbf{p} + \mathbf{p} \times (\nabla \times \mathbf{E}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{p})$$

由于电偶极矩$\mathbf{p}$为常矢量

$$\nabla \mathbf{p} = 0 \quad \nabla \times \mathbf{p} = 0$$

对于静电场，有（静电场环流定理）

$$\nabla \times \mathbf{E} = 0$$

从而可以得到

$$\vec{F} = \mathbf{p} \cdot (\nabla \mathbf{E}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial E_x}{\partial x} & \frac{\partial E_x}{\partial y} & \frac{\partial E_x}{\partial z} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} & \frac{\partial E_y}{\partial y} & \frac{\partial E_y}{\partial z} \\ \frac{\partial E_z}{\partial x} & \frac{\partial E_z}{\partial y} & \frac{\partial E_z}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}$$

注意：三维坐标系中点电荷$Q$的电场可以如下表示，并且可以算出电场的梯度矩阵，是一个对角矩阵

$$\vec{E} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^3} \vec{r} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^3} (x\vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) \\ \nabla \mathbf{E} = \begin{bmatrix} \frac{\partial E_x}{\partial x} & \frac{\partial E_x}{\partial y} & \frac{\partial E_x}{\partial z} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} & \frac{\partial E_y}{\partial y} & \frac{\partial E_y}{\partial z} \\ \frac{\partial E_z}{\partial x} & \frac{\partial E_z}{\partial y} & \frac{\partial E_z}{\partial z} \end{bmatrix} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

几个重要模型的电场强度

这些结果是通过积分或者高斯定理求得的，有些在考场上建议记住结论直接用。当然，也要熟悉它们是如何推导出来的。

另外，对这些电场强度积分，就可以得到电势。

• 均匀带电线密度为$\lambda$的直线

  

  $$E_{x} = \dfrac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (\sin \theta_2 - \sin \theta_1) \\ E_{y} = \dfrac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$$

• 均匀带电的无限长直线，电荷线密度为 $\lambda$

$$\boldsymbol{E(r)} = \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \boldsymbol{e}_r = \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{r}$$

• 带电量为$Q$，半径为$R$的均匀带电细圆环

  

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{xQ}{4 \pi \epsilon_0 (x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$$

• 电荷面密度为$\sigma$，半径为$R$的均匀带电薄圆盘的轴线上

  

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0}(1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}})$$

• 无限大均匀带电平面

  

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} \boldsymbol{e}_n$$

• 电荷量为$Q$的均匀带电球面

  $$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电量为Q的均匀带电球体

$$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \boldsymbol{r} & r<R \\ \ \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电荷体密度为$\rho$的均匀带电球体

  $$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ \dfrac{\rho}{3 \epsilon_0} \boldsymbol{r} & r<R \\ \ \dfrac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电荷线密度为$\lambda$的无限长带电圆柱面

  $$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电荷线密度为$\lambda$的无限长均匀带电圆柱体

  

$$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 R^2} \boldsymbol{r} & r<R \\ \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

几个重要模型的电势

• 均匀带电圆环轴线上

  

  $$V = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 r} = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{x^2 + R^2}}$$

• 均匀带电圆盘轴线上

  

  把上面的那个圆环带电量$q$替换成面元所带电荷量$dq = \sigma dS = 2\pi r dr$积分一下就可以得到

  $$V = \int_{0}^R \dfrac{\sigma 2\pi r \, dr}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{x^2 + r^2}} = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} (\sqrt{x^2 + R^2} - x)$$

• 电荷量为Q的均匀带电球体

  $$V = \begin{cases} \ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} & r>R \\ \ \dfrac{q(3R^2 - r^2)}{8 \pi \epsilon_0 R^3} & r \leq R \end{cases}$$

• 电荷量为Q的均匀带电球面

  

  $$V = \begin{cases} \ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} & r>R \\ \ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 R} & r \leq R \end{cases}$$

• 无限长均匀带电圆柱面

  $$V = \begin{cases} \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \dfrac{r_0}{r} & r>R \\ \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \dfrac{r_0}{R} & r \leq R \end{cases}$$

电场强度的计算思路

• 最基本方法：积分
  • 适用：没法用高斯定理的一般情况
  • 建立一个合适的坐标系
  • 确定电荷密度
  • 用电荷密度表示电荷元的电量$dq$（求$dq$）
  • 通过$dq$，计算电荷元的电场强度$d\boldsymbol{E}$（求dE）
  • 分解$d\boldsymbol{E}$为三个方向上的分量$d\boldsymbol{E}_x$ $d\boldsymbol{E}_y$ $d\boldsymbol{E}_z$
    • 显然，一维情况可以直接跳过这一步，二维情况只需两个分量
    • 对称性分析：对于二维或三维情况，往往能找到对称性，使其中某个方向的积分后结果显然为0。这样就能直接跳过这个方向分量的积分，简化计算
  • 整理变量，积分，求场强分量，得到电场强度
• 优先方法：高斯定理
  • 适用：对称性好的模型，或者补偿法得到的对称性好的模型
  • 找对称性
  • 选取高斯面（具体原则见前面）
  • 分析高斯面内电荷
  • $\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S}$，情况好的话直接算$E \cdot S$
  • 代入公式，计算
• 电势求导/求偏导
  • 情况1：给了电势方程$V=V(x,y,z)$，那就直接$\boldsymbol{E} = - \nabla V$
  • 情况2：无法直接计算电场强度，或者电势比电场强度更方便计算
    • 先用电势叠加原理计算电势，然后再对电势求偏导得到电场强度的每个分量
    • 典型例子：电偶极子模型
    • 例子2：非均匀带电细圆环轴线上电场强度

电势的计算思路

• 最基本方法：电场强度积分

  • 先计算电场强度，然后积分算电势

    $$V_a = \int_{a}^{p_0} \vec{E} d \vec{l}$$

• 方法2：电势叠加原理

  • 先计算空间每个电荷元使得所计算点具有的电势$dV$，再对$dV$积分

    $$V=\int dV=\int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

  • 一些电势叠加原理的二级结论

    • 均匀带电球面在球面外的电势与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同，在球面内为常数（保持恒定），并且一般来说两者在球面上这个交界点处连续。
    • 球对称带电球体在球外的电场和电势与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同

  • 如果拿捏不准就还是别乱用这些结论，积一下分用不了多少时间的

电势能的计算方法

• 用定义，算电场力做功

  $$W = \int_{a}^{p_0} \vec{F} d\vec{l}$$

• 用电势去计算

  $$W = \int dW = \int V dq$$

  • 线分布情况

    $$W = \int V \lambda \, dl$$

电势为0等势面的求法

• 建立一个合适的坐标系
• 列出方程 $V_+ + V_-=0$
• 通过电势计算（一般是方法2），把$V_+$和$V_-$计算出来，代入上述方程
• 化简，得到等势面方程

补偿法

• 补偿法的目的是恢复对称性
  • 对于电场强度求解，这往往是为了使其适用高斯定理计算
  • 对于电势求解，这往往是为了拼合成已知模型
• 适用于那些一眼“挖孔”，从完整的图形里抠掉一块的题目
• 把挖空区域用完整的带原来电荷的区域+规则的带相反电荷区域等效替代
• 常见适合使用补偿法的模型：
  • 挖掉一个小球的大球
  • 半球问题
  • 半圆柱面问题

Chapter12 静电场与物质的相互作用

补充

电场唯一性定理

如果

1. 每个导体的电荷已知
2. 每个导体的电势已知

那么就可以求得唯一的电场分布情况

也就是说如果猜到一种符合给定情形（例如导体内部场强处处为零）的电场分布情况，那么它就是唯一的（对的）

12.1 静电场中的导体

静电平衡时导体的电荷分布

由导体的特性，有以下前提条件：

• 导体内部的场强处处为零
• 导体内部和导体表面处处电势相等。整个导体是个等势体，导体表面是个等势面。

实心导体

电荷只分布在导体表面上，导体内部处处不带电

腔中无电荷的空腔导体

电荷只分布在导体外表面上

腔中有电荷的空腔导体

设导体原带电$Q$，电荷只分布在导体内外表面上

内表面带电$-q$，外表面带电$Q+q$

导体表面电荷分布

$$\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int_{\Delta S_1} \vec{E_\perp} \cdot d \vec{S} + \int_{\Delta S_2 + \Delta S_3} \vec{E} \cdot d \vec{S} = E_{\perp} \Delta S = \dfrac{\sigma \Delta S}{\epsilon_0}$$

由此可以得到结论：

导体表面（及表面附近）的场强垂直于导体表面，大小与该表面的电荷面密度成正比，为$\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$

$$\vec E_{\perp} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0} \vec{e_n}$$

一种不是很严谨的理解：其中$\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$由导体表面附近区域（在微观上可以看作无限大平面）的电荷贡献，$\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$由导体所有其他部分贡献

静电屏蔽

1. 空腔导体起到屏蔽外电场的作用
2. 接地的空腔导体可以屏蔽内外电场的影响

12.2 静电场中的电介质

极化电荷

电极化强度矢量

做统计处理，引入电极化强度矢量

取$\Delta V$，微观上足够大而宏观上足够小的空间区域

$$\vec{P} = \dfrac{\sum_{\Delta V} \vec{p_i}}{\Delta V}$$

又有实验规律，外电场不太强时，介质内任意点的电极化强度与该点电场强度成正比

$$\vec{P} = \chi_e \epsilon_0 \vec{E}$$

极化电荷分布规律

介质表面上的极化电荷

取一宏观上足够小，微观上足够大的斜圆柱体元，其斜高平行于$\vec{P}$，一个底面在内部，另一个底面在表面

斜圆柱体元的体积为

$$dV = dS \cdot dl \cos \theta \\ \sum_{i} \vec{p_i} = (dl \cdot dS \cos \theta) \vec{P} = P d\vec{l} dS \cos \theta$$

介质的极化使两底面产生极化电荷

$$\pm \sigma' dS$$

将体积元整体看成一个电偶极子，其总体电偶极矩为

$$\sum_i \vec{p_i} = \sigma' dS d\vec{l} \\ \implies \sigma' = P \cos \theta = \vec{P} \cdot \vec{e_n}$$

不同介质交界面处的极化电荷分布

$$\sigma' = \vec{P_1} \vec{e_{n1}} + \vec{P_2} \vec{e_{n2}} = (\vec{P_1} - \vec{P_2}) \vec{e_{n1}}$$

高斯闭合曲面内的极化电荷

在已极化的介质内任意作一高斯闭合曲面S，只有穿过高斯面S的分子对S内的极化电荷有贡献。

故取一宏观上足够小，微观上足够大，穿过高斯面的斜圆柱体元进行分析，其一底面在高斯面内侧，一底面在高斯面外侧

闭合曲面S内侧上的极化电荷密度为$- \sigma'$

$$\iiint_{V} \rho' dV= \sum_{in S} q' = - \oiint_{S} \sigma' dS = - \oiint_{S} \vec{P} \cdot d \vec{S} = - \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{P} dV$$

从而得到极化电荷体密度和电极化强度的关系

$$\rho' = - \nabla \cdot \vec{P}$$

介质中的高斯定理

对高斯面内的自由电荷和极化电荷总体应用高斯定理，有

$$\oiint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \dfrac{1}{\epsilon_0} (\sum_{in S} q_f + \sum_{in S} q')$$

移项并利用前面高斯面内极化电荷的分析结果

$$\oiint_{S} (\epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}) \cdot \vec{S} = \sum_{in S} q_f$$

电位移矢量$\vec{D}$

定义电位移矢量

$$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$$

就可以得到

$$\oiint_{S} \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum_{in S} q_f = \iiint_{V} \rho_f dV$$

转化为微分形式是

$$\rho_f = \nabla \cdot \vec{D}$$

这就是介质中的高斯定理：在任何静电场中，通过任意闭合曲面的电位移矢量通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。

电位移矢量$\vec{D}$和总电场强度$\vec{E}$的关系

利用前面提到过的实验规律，可以得到

$$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0 (1 + \chi_e) \vec{E} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E}$$

令$\epsilon_r = (1+ \chi_e)$为介质的相对介电常数

$\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$为介质的介电常数，则有

$$\vec{D} = \epsilon \vec{E} \\ \vec{P} = \epsilon_0 \chi_e \vec{E} = \epsilon_0 (\epsilon_r - 1)\vec{E}$$

同时，易得极化强度$\vec{P}$和电位移矢量$\vec{D}$之间的关系（做题常用）

$$\vec{P} = \dfrac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} \vec{D} = \dfrac{\chi_e}{1 + \chi_e} \vec{D}$$

极化电荷产生的电场强度$\vec{E'}$，自由电荷产生的电场强度$\vec{E_0}$，总的电场强度$\vec{E}$，则有

$$\vec{E'} = -\dfrac{1}{\epsilon_0} \vec{P} = (1-\epsilon_r) \vec{E} = - \chi_e \vec{E} = \dfrac{1- \epsilon_r}{\epsilon_r} \vec{E_0} \\ \vec{E_0} = \dfrac{1}{\epsilon_0} \vec{D} = \epsilon_r \vec{E} \\ \vec{E} = \vec{E'} + \vec{E_0} = \dfrac{1}{\epsilon_r} \vec{E_0} = \dfrac{1}{1-\epsilon_r} \vec{E'}$$

总结关系图

对介质内部极化电荷，有如下关系图

该知识点的常见题目类型

第二类问题，已知外电场$\vec{E_0}$和介质的相对介电常数，求

介质边界两侧的静电场（界面处的连续性问题）

讨论非常靠近边界两侧$\vec{D}$或$\vec{E}$的关系

场强与界面垂直

设界面没有自由电荷
由介质中的高斯定理

$$-D_1 \Delta S + D_2 \Delta S = 0 \implies D_1 = D_2$$

而界面上有极化电荷，$\vec{E}$是不连续的，并且满足以下关系

$$\epsilon_1 E_1 = \epsilon_2 E_2$$

$\vec{D}$线连续，$\vec{E}$线中断

场强与界面斜交

利用介质中的高斯定理

$$-D_1 \cos \theta_1 \Delta S + D_2 \cos \theta_2 \Delta S = 0 \implies D_{1n} = D_{2n} \implies \epsilon_1 E_1 = \epsilon_2 E_2$$

再利用环流定理

$$- E_1 \sin \theta_1 \Delta l + E_2 \sin \theta_2 \Delta l = 0 \implies E_{1t} = E_{2t} \implies \dfrac{D_1}{\epsilon_1} = \dfrac{D_2}{\epsilon_2}$$

利用以上结论，可以进一步推出

$$\dfrac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \dfrac{\epsilon_1}{\epsilon_2}$$

12.3 电容器

电容定义

$$C=\dfrac{q}{V}$$

通用的电容计算思路：

• 先设带电$Q$ 或者 先设电荷线密度$\lambda$或者面密度$\sigma$
• 计算电场强度$E$
• 用$E$积分计算电势差$U$
• 使用电容定义式$C=\dfrac{Q}{U}$计算电容器电容

孤立导体的电容

常规模型都很好算，不写了

电容器的电容

• 平板电容器：介质介电常数$\epsilon$，板面积$S$，板间距$d$

  $$C=\dfrac{\epsilon S}{d}$$

  • 推广：填入多层介质（相当于电容串联）

    $$C=\dfrac{\epsilon_0 S}{\sum_{i} \frac{d_i}{\epsilon_{ri}}}$$

  • 推广：插入电介质板（横向多层介质）（相当于电容并联）

    $$C=\dfrac{\epsilon S}{d} \dfrac{\sum_i \epsilon_{r_i}L_i}{\sum_i L_i} = \dfrac{\epsilon_0}{d} \sum_{i} \epsilon_{ri} S_i$$

  • 推广：放入多块导体板

    $$C=\dfrac{\epsilon_0 S}{d - d'_1 - d'_2 - \cdots - d'_i}$$

• 柱形电容器（介质介电常数$\epsilon$，外径$R_2$，内径$R_1$）：

  $$C=\dfrac{2 \pi \epsilon l}{ln \dfrac{R_2}{R_1}}$$

  • 常见问题1：给定外径，内外电势差U，求最小电场强度E
    • 用U表示E
    • 求导，找极值
  • 常见问题2：给定外径，最大电场强度E，求最大电势差U
    • 用E表示U
    • 求导，找极值

• 球形电容器（介质介电常数$\epsilon$，内径$R_A$，外径$R_B$）：

  $$C=4 \pi \epsilon \dfrac{R_A R_B}{R_B-R_A}$$

  • 常见问题：给定外径，内外电势差U，求最小电场强度E
    • 思路和柱形那个完全一样

• 一些题目模型的思考

  • 两根平行长直导线单位长度的电容

电容器的串并联

一般认为：

• 串联时，两个电容器带电量相等（部分题目会有不符合这个的特殊情况）

• 并联时，两个电容器电势差相等

• 串联

  $$\dfrac{1}{C}= \sum_{i} \dfrac{1}{C_i}$$

• 并联

  $$C = \sum_{i} C_i$$

• 灵活应用：

  • 前面的那种多种电介质情况都可以等效成串并联来算，结果都是对的，而且方便
  • 很多共用极板的情况也可以等效成两个电容串并联来看

出题常见模型中的问题

1. 电路断开或者根本没有连电路的情况下充入介质或取出介质，极板上所带电量$Q$不变，电势差$\Delta V$改变，电容储能$W_e$改变，$W_e$的改变是外力做功引起的。
2. 如果取出介质时候电势差$\Delta V$恒定，那么这个时候电容应该接入了电源，极板上所带电量$Q$也发生改变。这时候静电能$W_e$的改变量是是由外力做功和电流做功共同引起的，考虑的时候不要漏掉后者。简要来讲，过程前后电容两端的Q若发生了变化，就要考虑电流做功了。

12.4 静电场的能量

带电体系的静电能

点电荷$q_0$处于$q$的电场中，相互作用电势能为

$$W_e=\dfrac{q_0q}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

点电荷系的静电能

• 两个点电荷之间的静电相互作用能（互能）

  $$W_e=\dfrac{q_1q_2}{4 \pi \epsilon_0 r} = \dfrac{1}{2}(q_1V_1+q_2V_2)$$

  其中$V_1$为$q_2$在$q_1$处产生的电势，$V_2$在$q_1$在$q_2$处产生的电势

• n个点电荷系统的静电相互作用能（互能）

  $$W_e=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_iV_i$$

  其中$V_i$为除$q_i$以外的电荷对$q_i$处产生的电势

• 连续带电体的静电能

  $$W_e=\dfrac{1}{2}\int_{Q} Vdq$$

  其中$V$为所有电荷在$dq$处产生的电势

  • 立体带电体

    $$W_e=\dfrac{1}{2} \iiint_{\tau} V(\rho d \tau)$$

  • 平面带电体

    $$W_e=\dfrac{1}{2} \iint_{S} V(\sigma dS)$$

  • 线状带电体

    $$W_e=\dfrac{1}{2} \int_{L} V(\lambda dl)$$

  • 当然，你也可以使用定义计算
    • 计算每次移动$dq$到给定位置做的功
    • 对上述结果积分

自能与互能的概念

对于离散带电体而言，需要辨析一下自能，互能和总能的概念

互能

互能是指点电荷之间相互作用的能量之和，计算方式参见前面

自能

自能指单个连续带电体的总静态能

电荷$q_i$的自能为

$$W_i = \dfrac{1}{2} q_i V_i$$

其中$V_i$指电荷$q_i$自身在$q_i$所在的位置产生的电势

总能

总能就是总静电能，为自能和互能之和

总能 = 所有自能 + 互能

$$W_{总} = \sum_i W_i + W_{e}$$

总能直接计算的方法

$$W_{总}=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_iV_{i全}$$

其中$V_{i全}$为所有电荷（包括$q_i$自身）对$q_i$处产生的电势

连续带电体的话，电荷元$dq$产生的自能为无穷小量，所以自能=0（不去考虑），静电互相作用能（互能）和静电能（总能）就相等了，没有区分的必要

几个常见模型

考虑几个模型的静电能作为例子

• 真空中的均匀带电球面
• 真空中的球形电容器
• 无限大均匀电介质中的均匀带电金属球
• 外界两种不同电介质中的均匀带电金属球

带电电容器的静电能

$$W_e=\dfrac{1}{2}Q\Delta V = \dfrac{1}{2} C (\Delta V)^2 = \dfrac{1}{2} \dfrac{Q^2}{C}$$

请根据实际情况，自行选用最方便的公式进行计算

• 考虑几个例子
  • 前面提到的几个填充多种介质的电容器静电能
    • 最简单粗暴的方法，你已经知道电容怎么算了，直接套上面的最后一个公式不就解决问题了

静电场的能量

静电场的能量密度

$$w_e = \dfrac{1}{2} \epsilon E^2 = \dfrac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}$$

空间区域$\Omega$内总的静电场能量

$$W_e = \iiint_{\Omega} w_e dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{\Omega} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{\Omega} \epsilon E^2 dV$$

在球对称情况下计算静电场能量密度，常取$dV=4 \pi r^2 dr$，把以上三重积分变为一元常积分进行计算

12.5 解题方法，技巧及经验

电像法

电像法的基本思路就是用导体内部某个或者某几个假想电荷产生的电场来代替导体表面感应电荷在空间中产生的电场。

介质电像法

Chapter13 电流与磁场

常识补充

向量混合积的对称性

$$\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a} \cdot \vec{b}$$

13.1 电流与电源

13.1.1 电流，稳恒电场与电源

两种电流

1. 传导电流
   • 电子的定向移动，形成电流
   • 在电场力作用下能发生定向运动的带电粒子
     • 金属导体：自由电子
     • 电解质溶液：正、负离子
2. 运流电流
   • 单个或多个电荷在空间的定向移动（或运动）
   • 由电荷运动等效成的电流模型（做题常用）

电源

定义

电源是能够提供非静电力的装置。

电源外部

在电源外部：

• 仅存在静电场，静电场由电源提供
• 静电力作用使正电荷从电势高的地方向电势低的地方运动。

电源内部

在电源内部：

• 存在两种力：静电力（方向从正极指向负极）和非静电力（方向从负极指向正极），两者方向相反。
• 非静电力作用使正电荷从电势低的地方移动到电势高的地方。
• 非静电力需要克服静电力作用，使正电荷的电势能增高。

电动势

为了表征不同电源将其它形式的能量转化为电能的本领，引入了电动势（记作 $\mathcal{E}$）这一物理量。

• 电动势是标量，但具有方向性。
• 规定：电动势的正方向为自负极经电源内部指向正极的方向。
• 注意：电动势与电势差的区别
  • 电动势表征的是非静电力做功，完全取决于电源自身的性质，与外电路无关。
  • 电势差表征的是静电力做功，与外电路的情况有关。

非静电场和电动势的计算公式

• 非静电场强度 $\vec{E_k}$：

  $$\vec{E_k} = \frac{\vec{F_k}}{q}$$

  其中，$\vec{F_k}$ 为非静电力，$q$ 为电荷量。

• 电动势 $\mathcal{E}$：
  电动势等于单位正电荷从电源负极沿内电路移动到正极过程中，非静电力所做的功。

  $$\mathcal{E} = \frac{\int_{-}^{+} q \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l}}{q} = \int_{-}^{+} \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$$

  又由于非静电场仅在电源内部存在，在电源外恒为0，所以电动势也可以写成

  $$\mathcal{E} = \oint \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$$

稳恒电场

定义

稳恒电场：由并非静止、只是空间分布保持恒定的电荷产生的电场。

性质

• 稳恒电场通常伴随电流的存在。
• 电场中的电势差由电场强度积分得到。

相关公式

1. 稳恒电场中与静电场类似的部分：

   $$\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = 0$$

   电势差：

   $$V_a - V_b = \int_a^b \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$$

2. 稳恒电场中的非静电场：

   $$\oint \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l} \neq 0$$

   电动势：

   $$\mathcal{E} = \oint (\vec{E_k} + \vec{E}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}$$

静电场与稳恒电场对比

静电场	稳恒电流的电场
产生电场的电荷始终固定不动	电荷分布不随时间改变，但伴随定向移动
静电平衡时，导体内电场为零，导体是等势体	导体内电场不为零，导体内任意两点不等势
电场有守恒性，是保守场或势场	电场有守恒性，是保守场或势场
维持静电场不需要能量的转化	稳恒电场的存在总伴随能量的转化

13.1.2 电流强度与电流密度矢量

电流强度 $I$

• 大小：单位时间内通过导体某一截面的电量
• 方向：正电荷运动的方向
• 若电流强度与时间无关——稳恒电流

$$I=\dfrac{dq}{dt}$$

载流导体中任一点的电流密度矢量 $\vec{j}$
大小：单位时间内流过该点所在的、且与该点正电荷定向移动方向垂直的单位面积截面的电量。

$$\left| \vec{j} \right| = \dfrac{dq}{dtdS_⊥} = \dfrac{dI}{dS_⊥}$$

方向：该点正电荷定向移动的方向

$$\vec{j} = \dfrac{dI}{dS_⊥} \vec{e_n}$$

电流场：导体内每一点都有对应的 $\vec{j}(x,y,z)$

当然，可以对上面的表达式变形，写出电流与电流密度矢量的关系

$$dI = j dS_{\perp} = \vec{j} \cdot \vec{e_n} dS = \vec{j} \cdot d \vec{S} \\ I = \int_S dI = \int_S \vec{j} \cdot d\vec{S}$$

13.1.3 电流连续性方程

电流连续性方程

由电荷守恒定律，单位时间内由S流出的净电量应等于S内电量的减少，取一段 $dx$ 导线分析，不难得到

$$j(x+dx)\, dS - j(x) \, dS = - \frac{d}{d t}(\rho \, dS \, dx) \\$$

从而得到

$$\frac{\partial j}{\partial x} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$

这个方程就是一维导线中的电荷连续性方程

扩展到三维空间中，就是

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0$$

写成积分形式

$$\frac{d}{dt} \iiint \rho \, dV + \iiint \nabla \cdot \vec{j} \, dV = 0$$

再应用高斯定理，可以得到

$$\frac{dq}{dt} + \oiint \vec{j} \cdot d \vec{S} = 0$$

故电荷连续性方程的结论

$$\oiint_{S}\vec{j}\cdot d\vec{S} = -\dfrac{dq_{S内}}{dt}$$

稳恒电流

导体中各处的电流密度矢量不随时间变化

$$\dfrac{dq_{S内}}{dt} = 0 \quad \oiint_{S}\vec{j}\cdot d\vec{S} = 0$$

• 区分概念：均匀电流：导体中各处的电流密度矢量相同

13.1.4 金属导体中的电流密度矢量与载流子的平均漂移速度

金属导体中的电流密度矢量

设每个载流子电量为$q$，载流子数密度为$n$，平均漂移速度的大小 $v_d$
在时间$\Delta t$内，柱体元内的自由电子将穿过截面$\Delta S$，易得以下结论：

$$\Delta I = \frac{q[nv_d \Delta t \Delta S]}{\Delta t} = qnv_d\Delta S \\ \implies j=\dfrac{\Delta I}{\Delta S} = nqv_d$$

写成矢量形式，为

$$\vec{j} = nq\vec{v_d} = \rho_e\vec{v_d}$$

其中 $\rho_e=nq$ 电荷体密度

• $q > 0$，$\vec{j}$ 与 $\vec{v_d}$ 同向
• $q < 0$，$\vec{j}$ 与 $\vec{v_d}$ 反向

载流子的平均漂移速度

设载流子的平均漂移速度为 $\vec{v}$，$\vec{v_0}$ 为载流子不受电场作用，自由移动情况下的漂移速度，$t$ 为两次碰撞间时间间隔

$$\vec{v} = \vec{v_0} + \frac{q}{m}\vec{E} t$$

从平均的角度来说

$$\overline{\vec{v}_{\max}} = 0 + \frac{q}{m} \vec{E} \tau$$

其中 $\tau = \overline{t}$ 为两次碰撞间平均时间间隔

平均的漂移速度为

$$\vec{v_d} \equiv \frac{1}{2} \overline{\vec{v}_{\max}} = \frac{q\vec{E} \tau}{2m}$$

13.1.5 欧姆定律

欧姆定律的微分形式

欧姆定律

$$I = \frac{U_1 - U_2}{R}$$

对于柱形微元

$$R = \rho \frac{dl}{dS}$$

记 $\gamma = \frac{1}{\rho}$ 为电导率，在导体内取一个柱形微元进行分析

$$j \, dS = \frac{dU}{R} = \frac{dU dS}{\rho \, dl} \implies j = \frac{dU}{\rho \, dl} = \frac{E}{\rho} = \gamma E$$

从而得到

$$\vec{j} = \gamma \vec{E}$$

即导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向平行

电导率

把上面的结论全部写在一起，得到

$$\vec{j} = \gamma \vec{E} = nq \vec{v_d} = \dfrac{nq^2\tau}{2m}\vec{E}$$

从而得到电导率为

$$\gamma = \frac{n q^2 \tau}{2m}$$

总结

$$\vec{j} = \dfrac{nq^2\tau}{2m}\vec{E} = \gamma \vec{E}$$

其中$\gamma = \dfrac{n q^2\tau}{2m}$为电导率

求电阻的方法

欧姆定律

电阻 $R_{ab}$ 的计算公式为：

$$R_{ab} = \frac{U_{ab}}{I} = \frac{\int_{a}^b \vec{E} \cdot d\vec{l}}{\int_{S} \vec{j} \cdot d\vec{S}}$$

• 具体来说，一般设一个电流 $I$ ，求出电流密度 $\vec{j}$ ，再求电压 $U_{ab}$ ，再用这个公式就可以算出电阻
• 电场强度可以由 $\vec{E} = \frac{j}{\gamma}$ 求得

按定义

电阻 $R$ 的定义为：

$$R = \int dR = \int_{a}^{b} \frac{\rho}{dS} = \int_{b}^{a} \frac{dl}{\gamma S}$$

两种不同电导率导体界面上的电荷

恒定电流

通过横截面 $S$ 的电流满足：

$$-J_1 S + J_2 S = 0, \quad J_1 = J_2$$

电场分布

电场的分布为：

$$\gamma_1 E_1 = \gamma_2 E_2 \quad ( \gamma_1 > \gamma_2, \; E_1 < E_2 )$$

焦耳定律的微分形式

焦耳定律基本公式

$$P = I^2 R$$

热功率密度

热功率密度 $w$ 的公式为：

$$w = \frac{\Delta Q}{dS dl \Delta t} = \gamma E^2$$

13.2 磁场及其基本描述量

13.2.1 磁场力：洛伦兹力

运动电荷在磁场中受力：

$$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$$

13.3 电流产生的磁场：毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律

取电流元$I d\vec{l} = \vec{v_d}dq$
向量形式

$$d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$$

方向

$$d \vec{B} // d\vec{l} \times \vec{r}$$

大小：标量形式

$$dB = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Idl sin \theta}{r^2}$$

任意导线：

$$\vec{B} = \int d\vec{B} = \int \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$$

载流回路：

$$\vec{B} = \oint_{l} d\vec{B} = \oint_{l} \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$$

电流产生的磁感应强度的计算

解题基本逻辑：

1. 取电流元$I d\vec{l}$ ，套公式，计算由电流元产生的磁感应强度$d \vec{B}$
2. 判断$d \vec{B}$的方向，把它进行分解 $d\vec{B} \to dB_x,dB_y,dB_z$
3. 看一眼对称性，由对称性可以判断一些方向的分量积分以后显然为0，就不必算了
4. 对剩下的分量分部积分 $B_x=\int dB_x,B_y = \int dB_y,B_z = \int dB_z$

一些技巧：

• 对整体也善用对称性判断，有些对称性很好的电流，在其对称中心产生的$\vec{B}$显然为0，例如

  • 下面这个正方体电路在其中心产生的磁感应强度
  

  • 无限长均匀圆柱面在其对称轴上产生的磁感应强度

    

常见的电流产生的磁感应强度的模型

注：下面的磁感应强度都没指出方向，用的时候记得自己看一下方向！

• 直线段电流产生的磁场（模型如图所示，所计算点与直线距离为$a$，起终点$\vec{r}$与电流方向夹角分别为$\theta_1$，$\theta_2$）：

  

  $$B= \dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}(cos \theta_1 - cos\theta_2)$$

• 特别地，无限长直线电流产生的磁场（所计算点与直线距离为$a$）：

  $$B = \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi a}$$

• 显然，半无限长直线：

  $$B = \dfrac{\mu_0 I}{4 \pi a}$$

• 宽度为 $a$ 的无限长平面，单位宽度电流为$\alpha = \frac{I}{a}$，求平面上方任一点（与平面距离$y$）的磁感应强度

  

  $$B = \dfrac{\mu_0 \alpha}{\pi} arctan \dfrac{a}{2y} = \dfrac{\mu_0 I}{\pi a} arctan \dfrac{a}{2y}$$

  • 特别地（上式取$a \to \infty$），无限大均匀平面电流（电流线密度为$\alpha$）：

  $$B = \dfrac{\mu_0 \alpha}{2}$$

  • 当$y << a$时，也可以近似

    $$B = \frac{\mu_0 I}{2a}$$

• 无限长均匀圆柱面电流的磁场（设与中轴距离为$r$）（用这个算起来贼烦，记一下结论吧）：

  $$B = \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & r>R \\ \end{cases}$$

• 圆电流轴线上的磁场分布

  $$B = \dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$$

  

  特别地，当$z = 0$时，圆环中心磁感应强度

  $$B = \dfrac{\mu_0I}{2R}$$

  特别地，当$r >> R$时，有

  $$B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2z^3}$$

• 圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度

  $$B = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{IL}{R^2} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\theta}{R}$$

  

• 密绕螺线管轴线上的磁感应强度（其中$n$为螺线管单位长度匝数）

  $$B = \dfrac{\mu_0nI}{2}(cos\beta_2-cos\beta_1)$$

• 特别地，无限长螺线管

  $$B = \mu_0 nI$$

• 半无限长螺线管

  $$B = \dfrac{\mu_0 nI}{2}$$

13.4 磁场的基本规律

磁通量

$$d \Phi_m = BdS_{⊥} = BdScos\theta = \vec{B} \cdot d\vec{S} \\ \Phi_m = \int d \Phi_m = \int_{S} B \cos \theta \, dS = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} (= \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S})$$

方向：（右手螺旋定则）用于计算磁通量$\Phi_m$的闭合回路的法线方向（即 $d\vec{S}$ 的方向）取为与回路电流绕向成右手螺旋关系

常用磁通量模型

• 载流长直导线的电流为$I$，则通过如图矩形的磁通量为

  $$\Phi_m = \int_{d_1}^{d_2} \dfrac{\mu_0 I l}{2\pi x} dx = \dfrac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \dfrac{d_2}{d_1}$$

磁高斯定理

对于稳恒磁场来说，

$$\oiint_{S}\vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$$

原因：稳恒磁场为无源有旋场

• 无源：自然界中无磁单极子

安培环路定理

对于稳恒电流产生的磁场来说，

$$\oint_{L} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum_{i\text{(L内)}} I_i$$

• 上述结论说明，稳恒磁场为无源有旋场

注意：

1. 用右手螺旋定则确定回路包围电流的正负：

   1. 如果穿过回路的电流与回路绕向成右旋（右手螺旋定则）关系，规定电流强度为正；反之为负
   2. 也就是说，满足右手螺旋为正，不满足右手螺旋为负

2. 安培环路定理表达式中的磁感应强度$B$是闭合曲线内外所有电流产生的磁感应强度

3. 安培环路定理表达式中的电流强度$\sum I_i$是指闭合曲线所包围并穿过的电流强度，不包括闭合曲线以外的电流

安培环路定理的应用

基本逻辑：

1. 分析磁场的对称性
2. 根据磁场的对称性，选取安培环路
   • 安培环路要经过所求场点
   • 安培环路应选取规则形状，其上各B的量值恒定或为零。
   • 安培环路一般为同心圆周和矩形。
3. 用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，求出$\sum_{(L内)} I_i$
4. 由安培环路定理求解磁感应强度,并说明方向。
5. 其他技巧：灵活应用叠加原理和**“补偿法”**，目的是：构造或者恢复对称性，才能进行计算

重要的思想：等效电流

如果需要分析的问题涉及运动/转动的电荷产生的磁场，可以找一个合适的横截面，用$dI = \dfrac{dq}{t}$将运动/转动的电荷等效为电流进行计算

几个安培环路定理的模型

• 无限长螺线管：内部磁场处处相等（$B=\mu_0nI$），外部磁场为零

  

• 载流螺绕环：电流$I$，导线总匝数$N$、内径$R_1$、外径$R2$

  $$B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r} \quad (R_1<r<R_2)$$

  

• 无限长直流导线：常识，前面算过了，用安培环路定理更方便

  $$B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$$

• 无限长均匀圆柱面电流的磁场（设与中轴距离为$r$）（用安培环路定理算起来很快）

  $$B = \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & r>R \\ \end{cases}$$

• 无限长均匀圆柱电流

  

  $$B = \begin{cases} \ \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} & 0<r<R \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & r \geq R \\ \end{cases}$$

  • 无限长均匀通电圆柱体（圆柱电流）内部的磁感应强度（表示成和电流密度 $\vec{j}$ 相关的矢量形式）

  $$\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{2}\vec{j} \times \vec{r}, \quad0<r<R$$

• 无限长均匀同轴电缆（内部导体圆柱电流$I$，外部导体壳电流$-I$）

  $$B = \begin{cases} \ \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2} & r<R_1 \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & R_1 \leq r<R_2 \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \dfrac{R_3^2-r^2}{R_3^2-R_2^2} & R_2 \leq r < R_3 \\ \ 0 & r \geq R_3 \end{cases}$$

  

• 无限大均匀平面电流（电流线密度为$\alpha$）：

  $$B = \dfrac{\mu_0 \alpha}{2}$$

  

13.5 磁场对电流的作用

相关题目

1. 计算安培力
2. 计算磁力矩
3. 计算安培力做功

磁场力公式

一个电荷受力（洛伦兹力）：

$$F = q \vec{v} \times \vec{B}$$

电流元受力（安培力）：

$$d \vec{F} = dq \vec{v_d} \times \vec{B} = I d\vec{l} \times \vec{B}$$

安培力公式：

$$\vec{F} = \int_{l} d\vec{F} = \int_{l} (I d\vec{l} \times \vec{B})$$

注意：

1. 安培力乃大量自由电子洛伦兹力之和
2. 该定理涉及右手螺旋法则，方向如图
3. 计算时候善用对称性，可以少算一两个方向

对于匀强磁场中电流恒定（匀强磁场中的载流导线）情况，可以这样看安培力公式：

$$\vec{F} = \int_{l} (I d\vec{l} \times \vec{B}) = I (\int_{l} d\vec{l}) \times \vec{B}$$

故有结论：任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力，与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同。

几个安培力的模型

1. 两平行长直载流导线间的安培力

   $$\dfrac{dF_1}{dl_1} = \dfrac{dF_2}{dl_2} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi a}$$

   

载流线圈在磁场中受到的力矩

载流线圈在匀强磁场中受到的磁力矩

垂直的两边受力分别为

$$F_1 = F_2 = BIl_2 \quad F_3 = F_4 = BIl_1$$

不难发现，线圈受力情况为：合力为零 $\sum F = 0$，$F_1,F_2$ 构成一对力偶矩，合力矩不为零

线圈所受磁力矩大小为

$$M = F_1l_1 cos \theta = BIl_2 \cdot l_1 \cos \theta = BIl_1l_2sin\varphi = BIS sin\varphi$$

磁力矩与磁矩

引入磁矩的概念（方向如图，遵循右手螺旋定则）

$$\vec{m} = IS \vec{e_n}$$

则磁力矩可以写成

$$\vec{M} = m \vec{e_n} \times \vec{B} = \vec{m} \times \vec{B}$$

磁矩的定义

若平面线圈有N匝，则线圈所受磁力矩为

$$\vec{M} = NBIS \sin \varphi = mB \sin \varphi$$

故定义磁矩为

$$m = NIS \quad \vec{m} = NIS \vec{e_n}$$

$\vec{e_n}$与电流绕向遵循右手螺旋定则

从而N匝螺线管的磁力矩也可以写成

$$\vec{M} = m \vec{e_n} \times \vec{B} = \vec{m} \times \vec{B}$$

匀强磁场中任意形状平面载流线圈

对于闭合线圈，仍然有

$$\vec{F} = \oint_{l} I d\vec{l} \times \vec{B} = I \oint_{l} d\vec{l} \times \vec{B} = 0$$

取小面元进行分析，可以算出该面元的磁力矩和磁矩

$$d\vec{M} = d\vec{m} \times \vec{B} \quad d\vec{m} = IdS \vec{e_n}$$

总力矩为

$$\vec{M} = \int d\vec{M} = (\int d\vec{m}) \times \vec{B} = IS \vec{e_n} \times {B} = \vec{m} \times \vec{B}$$

因为前面定义磁矩的时候已经考虑线圈匝数N，这个结论也适用于匀强磁场中任意形状N匝平面载流线圈

各种磁矩计算方法

圆盘状分布电流的磁力计算

考虑$r \sim r+dr$的圆环的磁矩$d\vec{m}$

$$d\vec{m} = S dI \vec{e_n} \quad \vec{m} = \int d\vec{m} = \int SdI \vec{e_n}$$

N匝圆盘形密绕线圈的磁力计算

考虑$r \sim r+dr$部分的线圈的磁矩$dm$

$$dm = IS \, dN \quad dN = \dfrac{N}{R_2 - R_1} dr \\ \quad m = \int dm = I \int S \, dN$$

磁力做功

1. 运动的载流导线（安培力做功）

   $$A = F \Delta x = Bl \Delta x = I \Delta \Phi_m = I (\Phi_{mf}- \Phi_{mi})$$

   

   其中$\Phi_m$指扫过的面积的磁通量的增量

2. 转动的载流线圈

   

   $$dA = -Md\varphi = -BIS \sin \varphi d \varphi = Id(BS\cos \varphi) = I d\Phi_m \\ A = - \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} Md\varphi = - \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} BIS \sin \varphi d \varphi = \int_{\Phi_{mi}}^{\Phi_{mf}} I d\Phi_m \\ = I \Delta \Phi_m = I (\Phi_{mf}- \Phi_{mi})$$

   P.S. 始末状态磁通量$\Phi_m$（尤其要注意方向）的计算，参见前面讲过的磁通量计算部分

3. 非均匀磁场情形

   

   假设电流元发生位移$d\vec{r}$，安培力做功为

   $$dA = I d\vec{l} \times \vec{B} \cdot d\vec{r} = I d\vec{r} \times d\vec{l} \cdot \vec{B} = I d\vec{S} \cdot \vec{B}$$

   其中$d\vec{S}$表示电流元扫过的面积微元

   故电流元发生微小位移$d\vec{r}$时安培力做的功

   $$dA = \int Id\vec{S} \cdot \vec{B} = I \int d \vec{S} \cdot \vec{B} = I d\Phi$$

   即做功与扫过的面积上的磁通量有关

磁矩在均匀外磁场中的能量

在均匀外磁场中，在回路电流保持不变的情况下，安培力对回路电流做功仅与最初和最末位置磁通的变化有关，而与过程无关

考虑转过角度$d \theta$时能量的变化量

$$dU = - \vec{M} \cdot d\vec{\theta} = - \vec{m} \times \vec{B} \cdot d\vec{\theta} = - d\vec{\theta} \times \vec{m} \cdot \vec{B} = - d \vec{m} \cdot \vec{B}$$

故可以将载流线圈在外磁场中的能量定义为

$$U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mBcos\varphi$$

N匝时，有（这里假设m为单匝线圈的m，如果按照前面直接算了多匝线圈的m，这里就不需要倍数N了）

$$U = -N \vec{m} \cdot \vec{B} = -NmBcos\varphi$$

可以利用该式可以计算磁矩受到的力，但它不是实际的能量：考虑磁矩和螺线管所组成的系统的磁能时，从无穷远将磁矩放到场点，保证螺线管和磁矩电流不变的情况下

$$U_{\text{total}} = \vec{m} \cdot \vec{B}$$

13.6 带电粒子的运动与磁场

运动带电粒子的磁场

$$d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{qnS \vec{v}\, dl \times \vec{r}}{r^3}$$

载流子数量 $dN = nS \, dl$ ，那么一个载流子产生的磁场为

$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q\vec{v} \times \vec{r}}{r^3}$$

如果有一块能看作点电荷的电荷元 $dq = qnS \, dl$，那么这块电荷元产生的磁场为

$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{v} \times \vec{r}}{r^3} \, dq$$

可以通过积分计算磁场

$$\vec{B} = \int \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{\vec{v} \times \vec{r}}{r^3} dq$$

如果是圆环情况，建议等效成电流用安培环路定理，计算简单很多

运动电荷的磁场与电场

磁场

$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \vec{v} \times \vec{r}}{r^3}$$

电场：在 $v \ll c$ 时，真空中场点的电场为：

$$\vec{E} = \frac{q \vec{r}}{4\pi \varepsilon_0 r^3}$$

由此可得：

$$\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \vec{v} \times \vec{E}$$

运动电荷产生磁场与电场是紧密联系的，即：磁场是电场的相对论效应。

带电粒子在匀强磁场中的运动

1. $\vec{v} // \vec{B}$

   显而易见$F = 0$，没啥好说的，粒子匀速直线运动

2. $\vec{v} ⊥ \vec{B}$

   粒子做匀速圆周运动，容易列出以下式子

   $$F = qvB = \frac{mv^2}{R}$$

   

   从而得到以下结论：

   • 粒子的运动半径（Larmor半径）为

   $$R = \dfrac{mv}{qB}$$

   • 运动周期T为

   $$T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2 \pi m}{qB}$$

3. $\vec{v}$与$\vec{B}$成$\theta$角

   这种情况下，粒子在平行于磁场方向不受力

   在垂直于磁场方向作匀速圆周运动

   可以求出半径和运动周期

   $$R = \dfrac{mv_{⊥}}{qB} = \dfrac{mvsin\theta}{qB} \\ T = \dfrac{2 \pi m}{qB}$$

   合成以后是个螺旋线运动，螺距

   $$h = v_{∥}T = \dfrac{2 \pi mv cos \theta}{qB}$$

带电粒子在非匀强磁场中的运动

磁约束：带电粒子在非均匀磁场中的运动

磁镜：带电粒子在非均匀磁场中的运动

粒子在强磁场区受到指向弱磁场方向的力，向弱磁场方向运动——“反射”到中央，被约束在两镜之间

霍尔效应

如果磁场方向与电流方向垂直，则在与磁场B和电流I两者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。这个电势差称为霍尔电势差。

霍尔电势差大小计算

下面推导一下霍尔电势差大小：

$$\vec{F_m} + \vec{F_e} = 0 \implies qv_dB = qE \implies V_m- V_n = Eb = Bv_db \\ 且 I = n q v_d bd \implies v_d = \dfrac{I}{nqbd} \\ \implies \Delta V_H = V_m - V_n = \dfrac{1}{nq} \dfrac{BI}{d} \\ \text{set} \thinspace R_h = \dfrac{1}{nq} \implies \Delta V_H = R_h \dfrac{BI}{d}$$

记一下结论：

$$\Delta V_H = \dfrac{1}{nq} \dfrac{BI}{d} = R_H \dfrac{BI}{d} (set \thinspace R_H = \dfrac{1}{nq})$$

霍尔电势差方向判断

和上面的计算思路很类似

1. 判断载流子所受洛伦兹力方向
2. 由于载流子所受电场力要与洛伦兹力抵消，霍尔电场对载流子的电场力和洛伦兹力反向
3. 由霍尔电场对载流子的电场力方向，可知霍尔电场强度方向
4. 有霍尔电场强度方向之后，就可以得到霍尔电势差的方向（沿电场强度方向，电势降低）

注意：一般来说，导体的载流子默认是电子，带负电！！！

Chapter14 磁场与物质的相互作用

磁介质对磁场的影响

磁介质

磁介质：凡处于磁场中能与磁场发生相互作用的实物物质均可称为磁介质。

• 与磁场发生相互作用强的磁介质主要是铁磁物质。
• 与磁场发生相互作用弱的磁介质又可分为顺磁质和抗磁质。
• 在非均匀磁场中，被吸引至磁场较强区域的磁性物质称为顺磁质（如
  钠，铝，锰，铬，硫酸铜，氧及空气等）；
• 被斥离磁场较强区域的磁性物质称为抗磁质（如铜，铅，铋，银，水
  及氮等）。

分子电流、分子磁矩

在一个原子或分子中，电子既作轨道运动，又作自旋运动，可用一个等效的环电流来表征，称为“分子电流”，相应的磁矩称为“分子磁矩”。

• 抗磁质分子：

  • 分子没有固有的磁矩
  • 在没有外磁场时：宏观上不显示磁性

• 顺磁质分子：

  • 分子有固有的磁矩
  • 但由于各分子磁矩取向杂乱无章，所以 $\sum \vec{\mu}_m= 0$
  • 在没有外磁场时：宏观上也不显示磁性

顺磁质的磁化

分子的固有磁矩不为零 $\vec{\mu}_m \neq 0$

• 有外磁场时，分子磁矩要受到一个力矩的，使分子磁矩转向外磁场的方向。
• 分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，顺磁质磁化结果，使介
  质内部磁场增强。

$$B > B_0$$

抗磁质的磁化

分子的固有磁矩为零 $\vec{\mu}_m = 0$

• 电子绕核的轨道运动电子本身自旋 $\mu_m$

• 在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩 $\Delta \vec{\mu}_m$ ，这个附加磁矩总与外磁场方向反向

• 电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用

故有

$$B < B_0$$

磁化强度和磁化电流

磁化强度

对于磁介质，可以不涉及磁化的微观过程，引入一个宏观物理量来描述介质磁化的程度。

• 对于体积 $\Delta V$，宏观上 $\Delta V$ 很小，但微观上包含大量磁矩 $\mu_i$。

磁化强度定义

磁化强度：

$$\mathbf{M} = \frac{\sum_i \mathbf{\mu}_i}{\Delta V}$$

磁化强度的 SI 单位：

$$\frac{\text{A}}{\text{m}}$$

顺磁质与抗磁质

• 顺磁质：$\mathbf{M} \parallel \mathbf{B}$
• 抗磁质：$\mathbf{M} \parallel -\mathbf{B}$

磁化电流

考察各向同性、线性、均匀的磁介质

总效果 ：在磁介质表面形成磁化电流。

想象从磁介质表面抽出一个小的斜柱体

通过对斜柱体中的磁场和相关变量进行描述：

1. 斜柱体总磁矩：

   $$\sum_i \mu_i = \Delta S dI'$$

2. 根据定义：

   $$M = \frac{\sum_i \mu_i}{\Delta V} = \frac{\Delta S dI'}{\Delta S d l \cos \theta}$$

关系式与计算

1. 单位长度微小段的表达式：

   $$\alpha' = \frac{dI'}{dl} = M \cos \theta = M \sin \varphi$$

2. 关系式：

   $$\alpha' = \vec{M} \times \hat{e}_n$$

3. 另一种形式：

   $$dI' = M dl \cos \theta = \vec{M} \cdot d\vec{l}$$

   或者

   $$dI' = \alpha' dl = |\vec{M} \times \hat{e}_n| dl$$

介质与边界条件

1. 磁介质与真空边界：

   $$\vec{\alpha'} = \vec{M} \times \hat{e}_n$$

   其中，$\hat{e}_n$为单位向量。

2. 磁介质与磁介质交界处磁场的分布：

   $$\alpha'_1 = \vec{M_1} \times \hat{e}_{n1}, \quad \alpha'_2 = \vec{M_2} \times \hat{e}_{n2}$$

   这里，$\hat{e}_{n1} = -\hat{e}_{n2}$。

3. 总磁化电流表达式表达式：

   $$\alpha' = \alpha'_1 + \alpha'_2 = (\vec{M_1} - \vec{M_2}) \times \hat{e}_{n1}$$

4. 介质表面磁化电流表达式：

   $$\vec{\alpha'} = (\vec{M_1} - \vec{M_2}) \times \hat{e}_n$$

总结

根据以上公式和关系式，描述了磁场、磁矩及相关物理量在不同磁介质中的分布及变化。

§ 13-3 介质中的磁场与磁场强度

介质中磁场的高斯定理

磁场的总磁通量可以分为外部磁场和由电流引起的磁场：

$$\vec{B} = \vec{B_0} + \vec{B'}$$

• $\vec{B_0}$：外磁场
• $\vec{B'}$：磁化电流产生的磁场

磁场线为闭合曲线，因此有以下关系：

$$\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = \oint_S (\vec{B_0} + \vec{B'}) \cdot d\vec{S} = \oint_S \vec{B_0} \cdot d\vec{S} + \oint_S \vec{B'} \cdot d\vec{S}$$

根据高斯定理，有外磁场的积分为零：

$$\oint_S \vec{B_0} \cdot d\vec{S} = 0$$

同时，磁化电流产生的磁场也满足：

$$\oint_S \vec{B'} \cdot d\vec{S} = 0$$

介质中的边界条件

1. 磁介质1 和 磁介质2 的界面上的磁场关系：

   • 介质1与介质2的界面法向磁场分量相等：

     $$B_{1n} = B_{2n}$$

2. 磁场分量：

   • 由界面两侧的磁场分量 $\vec{B_1}$ 和 $\vec{B_2}$ 表示，它们在界面法线方向上的分量必须相等。

磁场强度和介质中磁场的安培环路定理

1. 安培环路定理公式，其中 $I_i$ 为传导电流，$I'_i$ 为磁化电流

   $$\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( \sum_i I_i + \sum_i I_i' \right)$$

2. 总电流：
   设分子液度为 $n$，则套住 $dl$ 的分子电流为：

   $$dI' = n i_{\phi} \cdot (S_{\phi} \cdot \cos \theta \cdot dl) = M \cdot dl \cdot \cos \theta = \vec{M} \cdot d\vec{l}$$

3. 通过L所围曲面 $\Delta S$ 的磁化电流：

   $$I' = \oint_L \vec{M} \cdot d\vec{l}$$

磁场强度与安培环路定理

1. 高斯定理与安培环路定理的表达式：

   $$\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( \sum_i I_i + \oint_L \vec{M} \cdot d\vec{l} \right)$$

2. 磁场强度 H 的表达式：

   $$\oint_L \left( \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} \right) \cdot d\vec{l} = \sum_i I_i$$

   $$\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$$

3. 有磁介质时的安培环路定理： 其中 $I_i$ 为传导电流

   $$\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum_i I_i$$

磁场强度的相关定义与公式

1. 磁场强度的定义：

   $$\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$$

   • 其中 $\mu_0$ 为 真空磁导率（Permeability of vacuum）

2. 磁化率（Magnetic susceptibility）$\chi_m$：

   $$\vec{M} = \chi_m \vec{H}$$

3. 磁感应强度（Magnetic flux density）$\vec{B}$：

   $$\vec{B} = \mu_0 \vec{H} + \mu_0 \vec{M} = \mu_0 (1 + \chi_m) \vec{H} = \mu_0 \mu_r \vec{H} = \mu \vec{H}$$

4. 相对磁导率（Relative permeability）：

   $$\mu_r = 1 + \chi_m$$

5. 磁导率（Permeability）$\mu$：

   $$\vec{B} = \mu \vec{H}$$

磁介质的分类

1. 顺磁质（$\mu_r > 1$）
   $\vec{B'}$ 与 $\vec{H}$ 同方向，$B > H \mu_0$
   示例：$O_2, Al, Mn$

2. 抗磁质（$\mu_r < 1$）
   $\vec{B'}$ 与 $\vec{H}$ 反方向，$B < \mu_0 H$
   示例：$H_2, Cu, Pb$

3. 铁磁质（$\mu_r \gg 1$）
   $\vec{B'}$ 很大与 $\vec{H}$ 同方向
   示例：$Fe, Ni, Co$

4. 超导材料（$\mu_r = 0$）
   $\vec{B} = 0$，完全抗磁性

边界条件（完整版）

利用磁高斯定理和安培环路定理可以证明：在不同介质交界面两侧的磁场满足以下边界条件：

1. 法向磁场分量相等：

   $$B_{1n} = B_{2n}$$

2. 切向磁场分量相等：

   $$H_{1t} = H_{2t}$$

例题

一沿棒长方向均匀磁化的圆柱形介质棒（顺磁质）

• 半径为 $R$，长度为 $l$，其总磁矩的值为 $m$。
• 棒内的磁化强度为 $M$，棒的圆柱表面上的面磁化电流密度为 $\alpha'$。
• 棒内点的磁感应强度为 $B_0$。

圆柱形介质棒内的磁化强度

总磁矩：

$$\vec{M} = \frac{\sum_i \vec{\mu_i}}{\Delta V}$$

磁化强度公式：

$$M = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 l}$$

方向与电流方向 $I$ 之间的关系：

$$\vec{M} = M \hat{e}_n$$

圆柱形介质棒表面的面磁化电流密度

面磁化电流密度：

$$\alpha' = \frac{dI'}{dl} = M$$

面磁化电流密度的方向与电流方向的关系：

$$\alpha' = \vec{M} \times \hat{e}_n$$

棒内中点的磁感应强度

应用螺线管内的磁感应强度公式（把单位长度电流/电流线密度从 $nI$ 替换成 $\alpha'$ 就行）：

$$B_p = \frac{\mu_0 \alpha'}{2} [\cos \beta_2 - \cos(\pi - \beta_2)]$$

简化形式：

$$B_p = \frac{\mu_0 \alpha'}{2} [2 \cos \beta_2] = \mu_0 \alpha' = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{1}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2}}$$

例题：细长均匀磁化棒，磁化强度 $M$，沿棒长方向

已知条件：

• 沿棒长方向均匀磁化，磁化强度 $M$。
• 长直螺线管，磁化只存在于磁化面电流上，面电流密度 $\alpha' = M$。
• 求图中各点的 $H$ 和 $B$。

解：

均匀磁化，只存在磁化面电流，可以得到

$$\alpha' = M \implies nI = M$$

磁化棒可以视为长直螺线管的模型，将 $nI$ 替换为 $\alpha'$ ，即可进行计算，求出各点的 $B$

1. 在不同位置的磁感应强度 $B$：

   • $B_1 = \mu_0 n I = \mu_0 M$
   • $B_2 = B_3 = 0$
   • $B_4 = B_5 = B_6 = B_7 = \frac{1}{2} \mu_0 M$

2. 磁场强度 $H$：

   • 再由公式 $\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$ 计算出各点的 $H$
   • $H_1 = M - M = 0$
   • $H_2 = H_3 = 0$
   • $H_4 = \frac{1}{2} M - 0 = \frac{1}{2} M$
   • $H_5 = \frac{1}{2} M - M = -\frac{1}{2} M$
   • $H_6 = -\frac{1}{2} M$
   • $H_7 = \frac{1}{2} M$

铁磁质

考试不太能考这种东西，跳过

Chapter 15 电磁感应

15.1 电磁感应定律

楞次定律

感应电动势产生的感应电流的方向总是使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通量的变化。

常识，不多赘述

法拉第电磁感应定律

$$\epsilon = -k\dfrac{d\Phi_m}{dt}$$

国际单位制中，$k=1$，故可以直接写成

$$\epsilon = -\dfrac{d\Phi_m}{dt}$$

注意：

• 方向判断问题

  • 约定：回路包围的面的方向与回路方向成右手定则。

  • 正负号的含义：感应电动势为正，则与规定的回路方向相同；为负，则其方向与假设方向相反。

  • 负号表示：感应电动势方向与约定回路方向的关系，即感应电动势的符号总是与回路内磁通量随时间变化率的符号相反。

• 当线圈有$N$匝时，可以这样看：

  $$\epsilon = \sum_{i} \epsilon_i = - \dfrac{d}{dt}(\sum_{i = 1}^{n} \Phi_m) = - \dfrac{d \Psi}{dt} \\ \Psi = \sum_{i = 1}^{n} \Phi_m = N \Phi_m \quad (当各匝相同时)$$

• 可以从该式推导出一些二级结论：

  $$I = \dfrac{\epsilon }{R} = -\dfrac{1}{R}\dfrac{d \Phi}{dt} = \dfrac{dq}{dt} \\ \implies q = \int_{t_1}^{t_2} Idt = -\dfrac{1}{R} \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} d\Phi = -\dfrac{1}{R}(\Phi_2 - \Phi_1) = -\dfrac{1}{R} \Delta \Phi \\ 多匝情况: q = -\dfrac{1}{R}(\Psi_2 - \Psi_1) = -\dfrac{1}{R} \Delta \Psi$$

感应电动势的方向判断

1. 首先选定回路L的绕行方向
2. 按照右手螺旋关系确定出回路的正法线方向
3. 确定通过回路的磁通量的正负
4. 确定磁通量的时间变化率的正负
5. 最后确定感应电动势的正负
   • $\epsilon < 0$ 则$\epsilon$与回路 L绕向相反
   • $\epsilon > 0$ 则$\epsilon$与回路 L绕向相同

当然，用楞次定律判断也是可以的（更加方便，本质上是一个东西）

解题基本思路

对于求$\epsilon$的题目，基本思路：

1. 确定磁感应强度的来源，根据安培环路定理（或者毕奥·萨伐尔定律）求出$\vec{B}$
2. 找到产生电动势的闭合回路，对上一问求出的$\vec{B}$积分，求出通过该闭合回路的磁通量$\Phi_m = \iint_s{\vec{B}\cdot d\vec{S}}$
3. 最后，使用电磁感应定律，求出电动势$\epsilon = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}$

15.2 动生电动势

动生电动势是因为导体自身在磁场中做切割磁感线运动而产生的感应电动势。动生电动势由洛伦兹力产生，可以推出

$$\vec{E_k} = \dfrac{\vec{F}}{q} = \vec{v} \times \vec{B} \\ \implies \epsilon = \int_{a}^{b} \vec{E_k} \cdot d\vec{l} = \int_{a}^{b} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$$

故动生电动势为

$$\epsilon = \int_{\vec{l}} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$$

微分形式

$$d\epsilon = \vec{v} \times \vec{B} \cdot d \vec{l}$$

注意：

1. 积分路径$\vec{l}$的正方向可任意定。
2. 电动势“方向”的判断
   • $\epsilon < 0$ 则$\epsilon$与积分路径$\vec{l}$的正方向相反
   • $\epsilon > 0$ 则$\epsilon$与积分路径$\vec{l}$的正方向相同

动生电动势能量转化分析

洛伦兹力产生动生电动势，但是洛伦兹力垂直于运动电荷的速度，洛伦兹力本身并不做功！

载流子所受总的洛伦兹力为

$$\vec{F} = q(\vec{v}+\vec{u})\times \vec{B} = q\vec{v} \times \vec{B} + q\vec{u} \times \vec{B} = \vec{f}_{vL} + \vec{f}_{uL}$$

达到平衡时，洛仑兹力与外力相等

$$\vec{f}_{ext} = - \vec{f}_{uL}$$

电子所受的总的洛伦兹力与其速度垂直，对电子不作功

$$\vec{F} \cdot (\vec{v}+\vec{u}) = 0 = \vec{f}_{vL} \cdot \vec{u} + \vec{f}_{uL} \cdot \vec{v}\\ \implies \vec{f}_{vL} \cdot \vec{u} = - \vec{f}_{uL} \cdot \vec{v}= \vec{f}_{ext} \cdot \vec{v}$$

从这个式子中，我们可以很好地理解动生电动势的能量转化的本质：

• $\vec{f}_{ext} \cdot \vec{v}$：外力做正功输入机械能
• $- \vec{f}_{uL} \cdot \vec{v}$：洛仑兹力的一个分量做负功吸收它
• $\vec{f}_{vL} \cdot \vec{u}$：洛仑兹力的另一个分量做正功又以电能形式输出这个份额的能量

总结：外力克服洛仑兹力的一个分量做功，通过洛伦兹力的另一个分量转化为感应电流的能量。形象一点说，洛伦兹力本身并不做功，它是一个能量的转化器/搬运工。

动生电动势的具体计算

对于导线回路

方法1：直接积分

$$\epsilon = \oint_{l} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$$

方法2：根据电磁感应定律计算

$$\epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt}$$

对于一般导线

方法1：直接积分

$$\epsilon_{ab} = \int_{a}^{b} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$$

方法2：如果反向计算方便，可以使用补偿法，把导线补全成回路计算，然后减掉另外一部分

$$\epsilon_{ab} + \epsilon_{ab'} = \epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt}$$

注意方向的问题：对于导线来说，感应电动势的方向就是选定的积分方向$d\vec{l}$

而且

• 感应电动势的方向与感应电流的方向相同

• 沿感应电流（感应电动势）的方向，导线电势升高（相当于电源内部）

• 感应电场的方向与导线内部电场的方向相反

• 用前面两个规则中的一个，都可以判断出ab两点间感应电动势和导线上电势差的符号相反，即

  $$V_{ab} = - \epsilon_{ab}$$

解题思路

1. 建立坐标系，取微元$d\vec{l}$，人为规定$d\vec{l}$正方向
2. 利用$d\epsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$先计算出微元的电动势$d\epsilon$
3. 把$d\epsilon$积分，得到$\epsilon$
4. 若算得$\epsilon$为正值，说明实际电动势的方向就是规定的正方向，若为负值，说明与正方向相反
5. 注意：微元$d\vec{l}$产生动生电动势的方向为该点$\vec{v} \times \vec{B}$沿$d\vec{l}$的投影方向。

15.3 感生电动势 感应电场（涡旋电场）

麦克斯韦提出感应电场概念 ：当空间中的磁场发生变化时 ，就在周围空间激起感应电场 ，在导体中产生感生电动势，并形成感应电流 。

再利用法拉第电磁感应定律，可以将感生电动势（感应电场）表示为如下形式（法拉第-麦克斯韦方程）

$$\epsilon = \oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \dfrac{d \Phi_m}{dt} = - \dfrac{d}{dt} \iint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}$$

由此可以得出感生电场强度的环流公式

$$\oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}$$

从这个式子可以发现：变化的磁场产生电场！

借助stokes定理，可以写出该式子的微分形式

$$\nabla \times \vec{E_i} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

方向：$\vec{E_i}$和$\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$构成左旋关系（$\vec{E_i}$和$- \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$构成右旋关系）

感应电场的性质

可以发现，感应电场与磁场的涡旋性质相似！

电流产生磁场

$$\oint_{l} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I = \mu_0 \iint_{S} \vec{j} \cdot d\vec{S}$$

变化的磁场产生感应电场

$$\oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}$$

感应涡电流和趋肤效应

感应电流不仅能在导电回路内出现， 而且当大块导体与磁场有相对运动或处在变化的磁场中时，在这块导体中也会激起感应电流.这种在大块导体内流动的感应电流,叫做涡电流 ,简称涡流。

$$I \propto E_i \propto \dfrac{\partial B}{\partial t} \propto \omega$$

故热功率

$$P \propto I^2 \propto \omega^2$$

轴对称变化磁场产生的感应电场

磁场变化产生感应电场，场线图示如图,设有轴对称变化的磁场，磁场强度 $B$ 随时间变化，产生感应电场 $E$。

$$\Phi_m = \iint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = \int_0^r B(r,t) 2\pi r \, dr \\ E_i \cdot 2\pi r = - \frac{d}{dt} \int_0^r B(r,t) 2\pi r \, dr$$

引进平均磁感应强度

$$\overline{B} = \frac{ \int_0^r B(r,t) 2\pi r \, dr}{\pi r^2} = \frac{\Phi_m}{\pi r^2}$$

从而有

$$E_i \cdot 2\pi r = -\pi r^2 \frac{d\overline{B}}{dt}$$

故有以下结论：

• 当 $r \leq R$ 时：

  $$E_i = - \frac{r}{2} \frac{\partial \overline{B}}{\partial t}$$

  • 其中，$\overline{B} = \frac{\Phi_m}{\pi r^2}$ 为平均磁感应强度

• 当 $r > R$ 时：

  $$E_i = - \frac{R^2}{2r} \frac{\partial \overline{B}}{\partial t}$$

  • 其中，$\overline{B} = \frac{\Phi_m}{\pi R^2}$ 为平均磁感应强度

感生电动势（涡旋电场）的计算

闭合回路的话，直接用法拉第电磁感应定律就好

下面讨论一般导线的计算方法

方法1：先算感应电场强度，再积分得到感生电动势

1. 先计算感生电场$\vec{E_i}$。计算公式：法拉第-麦克斯韦方程

   $$\oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}$$

2. 从上面的式子可以看倒，感生电场$\vec{E_i}$要有柱对称性才能计算

   • 获取柱对称性的方法：空间均匀的磁场被限制在一个圆柱体内，磁感应强度方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场。这样的场具有柱对称性

3. 一旦计算出来感应电场，就可以通过积分计算任意曲线l上的感生电动势

   $$\epsilon = \int_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l}$$

方法2：补偿法，把导线补全成回路计算

对于那些补全以后反向计算很方便（互补部分计算很方便）的导线，可以使用补偿法

$$\epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt} = \epsilon_{abc} + \epsilon_{cda} \\ \implies \epsilon_{abc} = \epsilon - \epsilon_{cda}$$

常用的重要结论 圆柱电磁场半径方向（法向）上的感生电动势为零，沿轴方向上的感生电动势也为0

举个例子：下图圆柱电磁场中的Oa，Ob方向上的感生电动势就为0

$$\epsilon_{oa} = \epsilon_{ob} = 0$$

利用上述结论，有以下方法：

1. 补偿法：补上半径方向（法向）的线段构成回路

2. 确定磁感应强度的来源，根据安培环路定理（或者毕奥·萨伐尔定律），计算出$\vec{B}$

3. 计算出回路磁通量$\Phi_m$

   $$\Phi_m = \iint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}$$

4. 直接使用法拉第电磁感应定律，计算感生电动势

   $$\epsilon_{oab} = - \dfrac{d \Phi_{oab}}{dt} = \epsilon_{oa} + \epsilon_{ob} + \epsilon_{ab} = \epsilon_{ab}$$

方法选择

• 对于导线
  • 补偿法，然后方法2
  • 方法1
• 对于回路
  • 基本都是直接方法2

既有动生电动势，又有感生电动势的计算

方法1：构造一个回路（可以使用补偿法），直接使用法拉第电磁感应定律

1. 确定磁感应强度的来源，根据安培环路定理（或者毕奥·萨伐尔定律），计算出$\vec{B}$

2. 根据$\vec{B}$，写出回路磁通量$\Phi_m$

3. 然后直接用法拉第电磁感应定律的公式

$$\Phi_m = \iint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} \quad \epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt}$$

注意方向：

• S是以L为边界的任意面

• L的正绕向与S的法向成右手螺旋关系

方法2：分开计算并相加

$$\epsilon = \epsilon_{动} + \epsilon_{感} \\ \epsilon_{动} = \int_{\vec{l}} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} \quad \epsilon_{感} = \int_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l}$$

方法选择

• 对于回路
  • 基本都是直接方法1
• 对于导线
  • 补偿法，然后方法1
  • 方法2（其实很少用）

15.4 自感与互感

自感的定义

自感现象：因线圈中电流变化而在线圈自身所引起的电磁感应现象。

自感电动势：自感现象中产生的感应电动势。不难发现，自感电动势产生的感应电流的方向总是阻碍原电流强度的变化。

$$\Psi = \sum_{i} \Phi_{mi} \\ B \propto I \implies \Phi \propto I \implies \Psi \propto I$$

故我们可以把$\Psi$写成

$$\Psi = LI \implies L = \dfrac{\Psi}{I}$$

其中$L$就称为回路的自感，这就是自感$L$的定义

规定回路正方向与电流方向一致，故有$L > 0$

自感由回路的形状、大小及周围介质决定，是线圈自身的固有属性

感应电动势可以写成

$$\epsilon = -\dfrac{d\Psi}{dt} = - \dfrac{d(LI)}{dt} = -L\dfrac{dI}{dt} - I\dfrac{dL}{dt}$$

• L变化：线圈有变形或者运动
• L不变：线圈静止，没有变形

若L不变，可以得到

$$\epsilon_L = -L \dfrac{dI}{dt} \quad L = - \dfrac{\epsilon_L}{\frac{dI}{dt}}$$

注意，自感电动势方向和电路中电势下降的方向（电压方向）是相反的，所以这个式子的符号和电路中电感模型的电压电流关系是相反的

$$U = -\epsilon_L = L \dfrac{dI}{dt}$$

自感的计算方法

正常方法

1. 设线圈中通过电流$\vec{I}$
2. 计算电流在空间的磁场$\vec{B}$
3. 求出通过线圈回路的磁通量$\Psi$
4. 用定义式求出$L = \dfrac{\Psi}{I}$

从能量角度计算

$$W_m = \dfrac{1}{2} LI^2 = \int_{V} \dfrac{1}{2}\dfrac{B^2}{\mu} dV = \int_{V} w_m dV \implies L = \frac{2W_m}{I^2}$$

互感的定义

互感现象：由于一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中产生感生电动势的现象

互感电动势：互感现象中产生的感应电动势。

$$I_1变化\implies 线圈2 \Psi_{21}变化 \implies 线圈2中产生\epsilon_{21} \\ I_2变化\implies 线圈1 \Psi_{12}变化 \implies 线圈1中产生\epsilon_{12}$$

$$\Psi_{21} = M_{21}I_1 \quad \Psi_{12} = M_{12}I_2 \\ M_{12} = M_{21} = M$$

互感系数$M$的定义为

$$M = \dfrac{\Psi_{21}}{I_1} = \dfrac{\Psi_{12}}{I_2}$$

感应电动势为

$$\epsilon_{21} = - \dfrac{d \Psi_{21}}{dt} = -M\dfrac{dI_1}{dt} - I_1 \dfrac{dM}{dt} \\ \epsilon_{12} = - \dfrac{d \Psi_{12}}{dt} = -M\dfrac{dI_2}{dt} - I_2 \dfrac{dM}{dt}$$

• M变化：线圈有变形或者运动
• M不变：线圈静止，没有变形

若M不变，

$$\epsilon_{21} = -\dfrac{d\Psi_{21}}{dt} = -M\dfrac{d I_1}{dt} \quad \epsilon_{12} = -\dfrac{d\Psi_{12}}{dt} = -M\dfrac{d I_2}{dt}\\ M = - \dfrac{\epsilon_{21}}{\frac{dI_1}{dt}} = - \dfrac{\epsilon_{12}}{\frac{dI_2}{dt}}$$

注意：互感电动势方向和耦合电感电压方向是反的，所以符号和电路中的耦合电感模型也是反的

互感的计算方法

1. 设线圈1（或线圈2）中通过电流$\vec{I_1}$（或$\vec{I}_2$）
2. 计算电流在空间的磁场$\vec{B_1}$或$\vec{B_2}$
3. 求出通过另一线圈回路的磁通量$\Psi_{21}$或$\Psi_{12}$
4. 用定义式求出$M = \dfrac{\Psi_{21}}{I_1} \space or \space M= \dfrac{\Psi_{12}}{I_2}$

技巧：$M_{12}$和$M_{21}$是相等的，所以实际计算的时候找方便的一边计算。如果发现一边很难算，要有逆向思维的意识，反过来计算，很可能会简单很多

互感线圈之间的磁耦合

大雾应该不太能考这个，更详细的分析见DLLL中的耦合电感相关分析

定义耦合系数为

$$k = \frac{|M|}{\sqrt{L_1 L_2}}$$

15.5 磁场能量

自感线圈磁能

$$W_m = \dfrac{1}{2} LI^2$$

互感线圈磁能

$$W_m = \pm M I_1 I_2 \quad (M>0)$$

符号：

• 线圈中产生的磁通互相增强：+
• 线圈中产生的磁通互相削弱：-

两个线圈总磁能

把自感，互感磁能相加得到总磁能

$$W_m = \dfrac{1}{2} L_1I_1^2 + \dfrac{1}{2} L_2I_2^2 \pm M I_1 I_2 \quad (M>0)$$

方向的处理

当电流方向，互感方向（线圈相对绕向）如上图的时候

$$W_m = \dfrac{1}{2} L_1I_1^2 + \dfrac{1}{2} L_2I_2^2 + M I_1 I_2$$

任意电流与图示电流相反的时候

$$W_m = \dfrac{1}{2} L_1I_1^2 + \dfrac{1}{2} L_2I_2^2 - M I_1 I_2$$

任意互感方向（线圈相对绕向）与图示的同向情况相反，即互感方向相反的时候，M的部分也要加一个负号，这个和上面的方向相反是可叠加的

设 $I_1, I_2$ 产生磁场 $\vec{B_1}, \vec{B_2}, \vec{H_1}, \vec{H_2}$

$$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} \quad \vec{H} = \vec{H_1} + \vec{H_2}$$

$$W_{\mathrm{m}} = \frac{1}{2}\iiint\vec{B} \cdot \vec{H}\mathrm{d}V = \frac{1}{2}\mu\iiint(\vec{H_1} + \vec{H_2})\cdot(\vec{H_1} + \vec{H_2})\mathrm{d}V \\ = \frac{1}{2}\mu\iiint(H_1^2 + H_2^2 + 2\vec{H_1} \cdot \vec{H_2})\mathrm{d}V$$

空间任意磁场

磁场能量密度

$$w_m = \dfrac{1}{2}\vec{B} \cdot \vec{H}$$

对于各向同性介质，可以进一步写成

$$w_m = \dfrac{1}{2}\dfrac{B^2}{\mu} = \dfrac{1}{2}\mu H^2 = \dfrac{1}{2} BH$$

空间任意磁场能量

$$W_m = \iiint_{V} w_mdV = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} \vec{B} \cdot \vec{H} dV$$

对于各向同性介质，可以进一步写成

$$W_m = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} \dfrac{B^2}{\mu}dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} \mu H^2 dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} BH dV$$

补充：线圈受力问题

磁场总能量

磁场储能表示为：

$$W_m = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$$

可化为：

$$W_m = \frac{1}{2} I_1 \left( L_1 I_1 + M I_2 \right) + \frac{1}{2} I_2 \left( L_2 I_2 + M I_1 \right)$$

进一步写成磁通的形式

$$W_m = \frac{1}{2} I_1 \Phi_1 + \frac{1}{2} I_2 \Phi_2$$

再利用以下条件

$$\begin{cases} \Phi_1 = L_1 I_1 + M I_2 \\ \Phi_2 = L_2 I_2 + M I_1 \end{cases} \implies \begin{cases} I_1 = \frac{L_2 \Phi_1 - M \Phi_2}{L_1 L_2 - M^2}\\ I_2 = \frac{L_1 \Phi_2 - M \Phi_1}{L_1 L_2 - M^2} \end{cases}$$

可以把能量写成只包含磁通的形式

$$W = \frac{1}{L_1 L_2 - M^2} \left( \frac{1}{2} L_1 \Phi_1^2 + \frac{1}{2} L_2 \Phi_2^2 - M \Phi_1 \Phi_2 \right)$$

其中，$\Phi_j$ 为通过第 $j$ 个线圈的总磁通。

电源反抗感应电动势的功

电动势作用为：

$$\mathrm{d}A_i^{(1)} = - I_i \varepsilon_i \, \mathrm{d}t = I_i \frac{\mathrm{d}\Phi_i}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t = I_i \, \mathrm{d}\Phi_i$$

---

分析系统总能量变化

对于 $N$ 个线圈，第 $j$ 个线圈有电流 $I_j$，通过的磁通量为 $\Phi_j$，体系做微小虚位移 $\mathrm{d}\xi_i$。

系统总能量的变化为：

$$\mathrm{d}W = \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j - \sum_i F_i \, \mathrm{d}\xi_i$$

其中，$F_i$ 表示作用力。

系统总能量的变化等于电源做功与克服相互作用力做功之和。

---

情况1：系统各部分磁通保持不变

假设磁通保持不变：

$$\mathrm{d}\Phi_j = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, N)$$

则安培力的表达式为：

$$F_i = - \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_{\Phi}$$

$W$ 要表示为 $\Phi_j$ 和 $\xi_i$ 的函数。

$$W_m = \frac{1}{2} I_1 \Phi_1 + \frac{1}{2} I_2 \Phi_2 = \frac{1}{L_1 L_2 - M^2} \left( \frac{1}{2} L_1 \Phi_1^2 + \frac{1}{2} L_2 \Phi_2^2 - M \Phi_1 \Phi_2 \right)$$

---

情况2：系统各部分电流保持不变

假设电流保持不变：

$$\mathrm{d}I_j = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, N)$$

能量 $W$ 表示为：

$$W = \frac{1}{2} \sum_j I_j \Phi_j$$

能量的变化为：

$$\mathrm{d}W = \frac{1}{2} \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j$$

代入能量方程：

$$\frac{1}{2} \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j = \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j - \sum_i F_i \, \mathrm{d}\xi_i$$

可得安培力为：

$$F_i = \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_I$$

$W$ 要表示为 $I_j$ 和 $\xi_i$ 的函数。

$$W_m = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$$

总结

在不同假设条件下：

1. 磁通量保持不变时，安培力为 $F_i = - \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_{\Phi}$
2. 电流保持不变时，安培力为 $F_i = \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_I$

例子：对于两个螺线管

磁场储能表示为：

$$W = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$$

根据前面的分析，相互作用力表示为：

$$F_x = \left( \frac{\partial W}{\partial x} \right)_I$$

代入储能公式可得：

$$F_x = I_1 I_2 \frac{\partial M}{\partial x}$$

Chapter7 波

6.1 机械波的产生和传播

波长、频率和波速（常识）

$u$为波速，$T$为周期

$$\text{波速} \, u = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \nu \quad \text{角频率} \, \omega = \dfrac{2\pi}{T} \\ \text{频率} \, \nu =\dfrac{1}{T}=\dfrac{u}{\lambda} \quad 波长\lambda = uT = \dfrac{u}{\nu}$$

波的几何描述

• 波（阵）面：振动相位相同的点连成的面。
• 波前：最前面的波阵面。
• 波线（波射线）：波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。

6.2 平面简谐波

原点O的振动式

$$y = Acos(\omega t + \varphi)$$

假设波以速度$u$向x轴正方向传播

$t-\dfrac{x}{u}$时刻点O的相位$\implies$ t时刻点P的相位

$$t \rightarrow t-\dfrac{x}{u}$$

直接就可以得到波函数（行波表达式）：

$$y = A cos[\omega(t-\dfrac{x}{u})+\varphi]$$

可以改写成平面简谐波的一般形式

$$y = Acos(\omega t -kx+\varphi)$$

其中$k = \dfrac{\omega}{u} = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ （角波数）

其他表示形式

$$y = A \cos\left[2\pi(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda})+\varphi\right] \\ y = A \cos\left[2\pi (\nu t - \frac{x}{\lambda}) + \varphi\right]$$

假设波以速度$u$向x轴负方向传播

很简单，改个符号就是

$$y = A cos[\omega(t+\dfrac{x}{u})+\varphi]$$

任意点行波法

经常使用任意点行波法来计算波函数

给出任意点Q的振动式

$$y_Q = Acos(\omega t + \varphi)$$

1. 若波向x轴正方向传播

$$t \rightarrow t-\dfrac{x-x_Q}{u} \\ y = A cos[\omega(t-\dfrac{x-x_Q}{u})+\varphi]$$

2. 若波向x轴负方向传播

   $$t \rightarrow t+\dfrac{x-x_Q}{u} \\ y = A cos[\omega(t+\dfrac{x-x_Q}{u})+\varphi]$$

行波法物理意义

相距$\Delta x$两点的相位差

$$\Delta \phi = -\dfrac{\omega}{u}\Delta x = -\dfrac{2\pi}{T} \dfrac{\Delta x}{u} = -2\pi \dfrac{\Delta x}{\lambda}$$

$\Delta x = x_2 - x_1$可称为波程差

平面波动方程

具体推导过程见数理方法笔记，此处直接写结论了

对于一个线密度为 $\mu$ ，绳中张力为 $F$ 的绳，容易得到其波动满足

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{F}{\mu} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

代入平面简谐波表达式

$$y = A cos[\omega(t-\dfrac{x}{u})+\varphi]$$

可以验证：平面简谐波表达式是它的解，同时得到波动方程系数和波速间的一个关系式

$$u = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

从而波动方程可以化为 （其中 $u$ 为波速）

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = u^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

注意：这里包含一个常用结论：软绳中波速 $u$ 满足 $u = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$

• 关于这个方程的解的形式更深刻的理解，参考数理方法的行波法相关内容

6.3 简谐波的能量传输

质点的能量

质点的机械能由动能和势能组成，表示为：

$$dE = dE_k + dE_p$$

动能部分

由于弦作小横振动，在x轴方向上，该质点的位移很小，速度可以忽略不计，因此只考虑y轴方向上有速度，动能的微分可以表示为：

$$dE_k = \frac{1}{2} \mu dx \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2$$

其中：

• $\mu$ 为单位长度的质量
• $\frac{\partial y}{\partial t}$ 为振动速度

势能部分

弦的某段长度 $dx$ 经过扰动后长度发生变化，扰动后的长度为：

$$dx \to \left[ (dx)^2 + (dy)^2 \right]^{1/2} = dx \left[ 1 + \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \approx dx \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right]$$

张力 $F$ 在弦上各点保持不变，故可以写出张力所作的功

$$dA = F \left( dx \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right] - dx \right) = \frac{1}{2} F dx \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2$$

因此张力做的微小功 $dA$ 即为质点的势能增量：

$$dE_p = dA = \frac{1}{2} F dx \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2$$

机械能的总和

平面简谐波的波函数为

$$y = A \cos(\omega t - kx + \varphi)$$

由此可以分别求出：

1. 动能微分：

   $$dE_k = \frac{1}{2} \mu dx \omega^2 A^2 \sin^2 (\omega t - kx + \varphi)$$

2. 势能微分：

   $$dE_p = \frac{1}{2} F dx k^2 A^2 \sin^2 (\omega t - kx + \varphi)$$

结合波速公式 $u = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$，可得动能和势能相等（并且是同步变化的）

$$dE_k = dE_p$$

因此，机械能总微分为：

$$dE = 2dE_k = 2dE_p = dx \mu \omega^2 A^2 \sin^2 (\omega t - kx + \varphi)$$

进一步化简为：

$$dE = dx \mu \omega^2 \left( A^2 - y^2 \right)$$

结论

1. 质点的动能和势能大小相等，同步变化。

   

2. 当质点处于平衡位置时$(y = 0)$, 其动能、势能和总机械能最大；当质点处于最大位移位置时$(|y| = A)$, 其动能 、势能和总机械能为零，为最小。

3. 质点的机械能不守恒

   $$dE \neq \text{const}$$

   这是由于质点和其相邻质点的相互作用，有外力对其作功，导致其机械能不守恒。

机械波的能量

能量密度

机械波的能量密度，即机械波在单位体积中的机械能

$$\epsilon = \dfrac{dE}{Sdx} = 2 \epsilon_k = 2\epsilon_p = \rho \omega^2 A^2 sin^2(\omega t -kx+\varphi) = \rho\omega^2(A^2-y^2)$$

其中$\rho = \dfrac{\mu}{S}$，为传播介质的体密度

平均能量密度

$$\overline{\epsilon} = 2 \overline{\epsilon_k} = 2 \overline{\epsilon_p} = \frac{1}{T} \int_0^T \epsilon \, dt = \dfrac{1}{2} \rho \omega^2 A^2$$

能流密度

单位时间内通过垂直于波传播方向的某一面积的能量称为通过该面积的能流

定义能流$P$为

$$P = \dfrac{\epsilon Sudt}{dt} = \epsilon S u$$

能流密度：通过垂直于波传播方向的单位面积的能流

$$J = \dfrac{P}{S} = \epsilon u$$

能流密度为矢量，方向与波速方向相同

$$\vec{J} = \epsilon \vec{u}$$

强度（平均能流密度）

定义波的强度$I$为能量密度在一个周期上的平均值，单位 $W/m^2$

$$I = \overline{J} = \frac{1}{T} \int_0^T J \, dt = \frac{u}{T} \int_0^T \epsilon \, dt = u\overline{\epsilon}$$

对于平面简谐波来说

$$I = \dfrac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 u$$

不难发现，强度即为平均能流密度

强度的矢量投影

强度为$I$的波，传播方向与所看平面的夹角为$\alpha$，则穿过该平面的平均能流密度（强度）为

$$I' = Icos\alpha$$

拓展：从能量角度来看球面简谐波的表达式

球面简谐波的强度（单位时间通过单位面积的能量流量）为：

$$I_1 = \frac{1}{2} \rho A_1^2 \omega^2 u, \quad I_2 = \frac{1}{2} \rho A_2^2 \omega^2 u$$

其中：

• $A_1$ 和 $A_2$ 分别为两个球面上的振幅；
• $\rho$ 为介质密度；
• $\omega$ 为角频率；
• $u$ 为波速。

平均能流相等

在介质不吸收能量的假设下，两个球面 $S_1$ 和 $S_2$ 上的平均能流相等，即：

$$\overline{p_1} = I_1 4\pi r_1^2 = \overline{p_2} = I_2 4\pi r_2^2$$

由此可得：

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{r_2}{r_1}$$

即振幅 $A$ 随距离 $r$ 的增大成反比。

球面简谐波的表达式

振动传播的球面波表达式为：

$$y = \frac{A}{r} \cos\left[\omega \left(t - \frac{r}{u}\right) + \varphi \right]$$

其中：

• $A$ 为离波源单位距离处波的振幅；
• $r$ 为球面波传播距离；
• $\varphi$ 为初相位。

声波的声强级

规定

$$I_0 = 10^{-12} W/m^2$$

声强级定义（贝尔Bel，分贝dB）为

$$L_I = lg\dfrac{I}{I_0} (Bel) \quad L_I = 10 lg\dfrac{I}{I_0} (dB) \\ 1Bel = 10dB$$

6.4 波的叠加和干涉

惠更斯原理

惠更斯原理：波阵面上每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波阵面的包络面就是该时刻的波阵面—惠更斯原理

用惠更斯原理解释波的衍射

衍射：波传播过程中当遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘而传播（偏离直线传播）的现象

用惠更斯原理解释波的反射

$$ A'D = AA'' \implies r=i $$ 即反射角与入射角相等

用惠更斯原理解释波的折射

可推出折射定律：

$$A'D = u_1(t_2-t_1) = ADsini \\ AA'' = u_2(t_2-t_1) = ADsinr \\ \implies \dfrac{sini}{sinr} = \dfrac{u_1}{u_2}$$

波的干涉

相干条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定

波的干涉和振动的叠加类似，在相量图上也能看作振动矢量相加

$$y_1 = A_1cos(\omega t -kr_1+\varphi_1) \\ y_2 = A_2cos(\omega t -kr_2+\varphi_2) \\ y = y_1 + y_2 = Acos(\omega t+\varphi) \\ A = \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos\Delta \Phi} \quad \Delta \Phi = \varphi_2 - \varphi_1 - k(r_2 - r_1) \\ \varphi = arctan\dfrac{A_1sin(\varphi_1 -kr_1)+A_2sin(\varphi_2 -kr_2)}{A_1cos(\varphi_1 -kr_1)+A_2cos(\varphi_2 -kr_2)}$$

其中$r_2 - r_1$为波程差

设$\varphi_1 = \varphi_2$

1. 当$r_1-r_2=\pm n\lambda$时，干涉相长：$A = A_1 + A_2$
2. 当$r_1-r_2=\pm (2n+1)\dfrac{\lambda}{2}$时，干涉相消：$A = \lvert A_1 - A_2 \rvert$
3. 其他一般情况：$\lvert A_1 - A_2 \rvert <A< A_1 + A_2$

提醒：善用向量叠加的几何意义，减少计算

驻波

当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的波以相反方向传播时，叠加形成驻波。

$$y_1 = Acos(\omega t -kx) \\ y_2 = Acos(\omega t +kx) \\ y = y_1 + y_2 = 2Acoskxcos\omega t$$

驻波各质点均做简谐振动，但振幅随位置做周期性变化，其中振幅部分即为$2Acoskx$

有些情况，正向传播和反向传播的波有相位差，算一算就行了

当然，记住三角公式

$$\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta &= \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta &= -\frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)] \end{align*}$$

$$\begin{align*} \sin \alpha + \sin \beta &= 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \\ \sin \alpha - \sin \beta &= 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \\ \cos \alpha + \cos \beta &= 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \\ \cos \alpha - \cos \beta &= -2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \end{align*}$$

驻波的特征

波腹与波节

$$y = y_1 + y_2 = 2Acos\dfrac{2\pi x}{\lambda}cos\omega t$$

• 波腹：

  $$\lvert cos\dfrac{2\pi x}{\lambda} \rvert = 1 \implies x = \pm \dfrac{n}{2} \lambda$$

• 波节：

  $$cos\dfrac{2\pi x}{\lambda} = 0 \implies x = \pm \dfrac{(2n+1)}{4} \lambda$$

  

相位特征

$$y = y_1 + y_2 = 2Acos\dfrac{2\pi x}{\lambda}cos\omega t = \begin{cases} 2A \lvert cos\dfrac{2\pi x}{\lambda} \rvert cos\omega t & cos\dfrac{2\pi x}{\lambda} \geq 0 \\ 2A \lvert cos\dfrac{2\pi x}{\lambda} \rvert cos(\omega t+ \pi) & cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}<0 \end{cases}$$

• 两相邻节点间各质点的振幅部分$cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}$的正负号相同，节点两侧各质点的振幅部分$cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}$正负号相反
• 两相邻节点间各质点相位相同，节点两侧各质点相位相反

驻波的能量

先看单个质点，直接上结论：单个质点的平均机械能守恒，不随时间改变，只和位置有关

$$dE_k= \frac{1}{2} \mu dx \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 = \dfrac{1}{2}\mu dx(2A\omega cos\dfrac{2\pi x}{\lambda} sin \omega t)^2 \\ dE_p= \frac{1}{2} F dx \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 = \dfrac{1}{2}F dx(\dfrac{4 \pi A}{\lambda} \sin\dfrac{2\pi x}{\lambda} \cos \omega t)^2 \\ \overline{dE_p} = \mu dx(A\omega sin\dfrac{2\pi x}{\lambda})^2 \\ \overline{dE_k} = \mu dx(A\omega cos\dfrac{2\pi x}{\lambda})^2 \\ \overline{dE} = \overline{dE_p} + \overline{dE_k} = \mu dx (A\omega)^2 = const$$

由上面的式子可以得出以下结论：

1. 位置与能量的关系

   • 波腹：波腹只有动能

     $$dE_p = 0 \quad dE_k = max$$

   • 波节：波节只有势能

     $$dE_k = 0 \quad dE_p = max$$

2. 时间与能量的关系

   • 当所有各点达到最大位移时$cos \omega t = \pm 1$，全部能量为势能

     $$dE_k = 0 \quad dE_p = max$$

   • 当所有各点达到平衡位置时$cos \omega t = 0$，全部能量为动能

     $$dE_p = 0 \quad dE_k = max$$

3. 驻波不传递能量，能量只在波腹与波节之间振荡，转移

简正模式

两端固定的张紧弦中产生的驻波

$$y = y_1 + y_2 = 2Asin\dfrac{2\pi x}{\lambda}cos\omega t \\ y|_{x= 0} = y|_{x=L} = 0 \implies sin \dfrac{2\pi}{\lambda}L = 0 \\ \implies \dfrac{2\pi}{\lambda}L = n\pi \implies \lambda = \dfrac{2L}{n} \quad n =1,2,3\cdots$$

P.S. 上面的式子里的sin是因为半波反射，具体看下一节

从而可以得到简正频率

$$\nu = \dfrac{u}{\lambda} = \dfrac{nu}{2L} \quad n =1,2,3\cdots$$

对应的驻波称为弦的简正模或固有振动

半波反射和全波反射

$$入射波:y_1 = Acos(\omega t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x +\varphi_1) = A_1 cos \Phi_1 \\ 反射波:y_2 = Acos(\omega t +\dfrac{2\pi}{\lambda}x +\varphi_2) = A_2 cos \Phi_2 \\$$

入射波在固定端反射时相位发生突变$\pi$的现象称为半波损失。

设反射地点$x=L$，对于固定端反射，有半波损失

$$(y_1 + y_2)_{x=L} = 0 \\ \implies (cos \Phi_1+cos \Phi_2)_{x=L} = 0 \\ \implies (\Phi_1 - \Phi_2)_{x=L} = \pm \pi$$

故可以得出结论：

固定端有半波损失

$$(\Phi_1 - \Phi_2)_{x=L} = \pm \pi$$

自由端无半波损失

$$(\Phi_1 - \Phi_2)_{x=L} = 0$$

显然，是否有半波损失和是固定端还是自由端反射有关：

1. 固定端反射有半波损失，反射面处为波节。故固定端反射为半波反射
2. 自由端反射无半波损失，反射面处为波腹。故自由端反射为全波反射

产生驻波的常见方式——反射

一类常见题目的思路：

1. 先写出入射波函数
2. 看反射端是固定端还是自由端：固定端有半波反射，自由端无半波反射
3. 确定反射端位置$x = L$，根据2的判断，写出反射波函数

6.5 多普勒效应

波源和接收器都静止（废话）

$$\nu_s = \nu_r$$

波源不动，接收器动

设接收器以$v_r$（相对于介质）靠近波源

$$u' = u + v_r \\ \lambda' = \lambda \\ \implies \nu_r = \dfrac{u'}{\lambda'} = \dfrac{u+v_r}{\lambda} = \dfrac{u+v_r}{u} \nu_s$$

结论：

$$\nu_r = \dfrac{u+v_r}{u} \nu_s$$

波源动，接收器不动

设波源以$v_s$（相对于介质）靠近接收器

$$\lambda' = \lambda - v_sT = (u-v_s)T = \dfrac{u-v_s}{\nu_s} \\ u' = u \\ \implies \nu_r = \dfrac{u'}{\lambda'} = \dfrac{u}{u-v_s}\nu_s$$

结论：

$$\nu_r = \dfrac{u}{u-v_s}\nu_s$$

波源和接收器都动

设接收器以$v_r$（相对于介质）靠近波源，波源以$v_s$（相对于介质）靠近接收器

$$\lambda' = \lambda - v_sT = (u-v_s)T = \dfrac{u-v_s}{\nu_s} \quad u' = u + v_r$$

从而得到结论

$$\nu_r = \dfrac{u+v_r}{u-v_s} \nu_s$$

若$v_s$，$v_r$不在两者连线上

$$\nu_r = \dfrac{u+v_r cos\theta_r}{u-v_s cos\theta_s} \nu_s$$

解题基本思路

1. 确定波源和接收器：实际题目比较复杂，可能有多个波源和接收器，也有可能存在反射，使得一个物体既是波源又是接收器

2. 规定速度正方向，确定$v_s v_r$正负号

   

3. 确定速度$v_s$和$v_r$的代数值

4. 确定波源频率$v_s$

5. 代入公式，计算接收器频率

Chapter16 电磁场与电磁波

常识补充

球冠表面积公式

$$S = 2\pi R h = 2 \pi R (R-x)$$

矢量三重积公式

$$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$$

16.1 麦克斯韦电磁理论

位移电流假设

1. 分析通过通过闭合曲面的电位移矢量通量和和曲面内电荷的关系

   $$q = \oiint_{S_1 + S_2} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \iint_{S_2} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \Phi_D$$

   可以发现闭合面内电荷量 = 通过 $S_2$ 面的电通量

2. 分析通过 $S_1$ 面的传导电流

$$I_c = \dfrac{dq}{dt} = \iint_{S_2} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d \vec{S} = \frac{d \Phi_D}{dt}$$

故有结论：通过 $S_1$ 面的传导电流 $=$ 通过 $S_2$ 面的电通量的变化率

故可以如下定义位移电流和位移电流密度

$$I_d = \iint_S \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d\vec{S} = \frac{d \Phi_D}{dt} \quad \vec{j_d} = \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

显然，位移电流和位移电流密度有关系：

$$I_d = \dfrac{d \Phi}{dt} = \iint_{S} \vec{j_d} \cdot d\vec{S}$$

全电流连续性原理

若电路中同时存在传导电流$I_c$和位移电流$I_d$，传导电流和位移电流之和称为全电流

$$I_s = I_c + I_d$$

对于任何电路（闭合回路），全电流是处处连续的

$$\oiint_{S}(\vec{j_c}+\vec{j_d})\cdot d\vec{S} = 0 \quad \nabla \cdot (\vec{j_c} + \vec{j_d}) = 0$$

全电流的安培定理

$$\oint_{l} \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_c + I_d = \iint_{S} (\vec{j_c} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S}$$

由此可见，变化的电场会产生磁场

以上式子的微分形式

$$\nabla \times \vec{H} = \vec{j_c} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

16.2 电磁波

麦克斯韦方程组

$$\begin{cases} \oint_{l} \vec{H} \cdot d\vec{l} = \iint_{S} (\vec{j_c} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S} \\ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S} \\ \oiint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0 \\ \oiint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = q \end{cases}$$

对各向同性介质，各量间的关系为

$$\vec{D} = \epsilon \vec{E} \quad \vec{B} = \mu \vec{H} \quad \vec{j} = \gamma \vec{E}$$

微分形式：

1. 高斯定理（电场）：

   $$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$$

2. 高斯定理（磁场）：

   $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$

3. 法拉第电磁感应定律：

   $$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

4. 安培环路定律（全电流定律）：

   $$\nabla \times \vec{H} = \vec{j_c} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

电磁波波动方程

推导过程

$$\begin{aligned} \nabla \times \vec{H} &= \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \nabla \times ( \nabla \times \vec{H}) &= \frac{\partial (\nabla \times \vec{D})}{\partial t} \\ &= \epsilon_0 \frac{\partial (\nabla \times \vec{E})}{\partial t} \\ &= -\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \\ &= -\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} \end{aligned}$$

又由于

$$\nabla \times ( \nabla \times \vec{H}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{H}) - (\nabla \cdot \nabla ) \vec{H} = -\nabla^2 \vec{H}$$

故可以得到

$$\nabla^2 \vec{H} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$$

类似地，对于电场强度也可以推导出

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

结论

从Maxwell方程组可以得到以下波动方程

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \quad \nabla^2 \vec{H} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$$

由此可以得出电磁波的波动性

$$\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \quad \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial t^2}$$

与标准波动方程比较

$$u_{tt} - u^2 u_{xx} = 0$$

可得波速

$$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$$

真空中

$$u = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$

介质中

$$u = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{c}{n} \quad n = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$$

平面简谐电磁波的特性

简化到一维平面情况，就可以得到类似一维波动方程的形式

$$\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \quad \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial t^2}$$

• 矢量 $E$ 应与传播方向垂直，设 $E$ 的方向为y方向
• 把旋度的式子展开进行分析，就可以得到矢量 $H$ 应与传播方向垂直，与 $E$ 方向垂直

相关推导过程

电场的表达式的复数表示

平面电磁波的电场表示为：

$$\vec{E} = \vec{E}_0 \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right)$$

复表示：

$$\vec{E} = \text{Re} \left[ \vec{E}_0 e^{j\left( \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right)} \right]$$

• 方向：$\vec{k}$ 的方向表征电磁波的传播方向。

导数性质：

• $\nabla e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} = -j\vec{k} e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$
• $\frac{\partial}{\partial t} e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} = j\omega e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$

由麦克斯韦方程组可得：

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

推导出：

$$\vec{k}^2 = \omega^2 \mu \epsilon \quad \Rightarrow \quad k = \frac{\omega}{u}$$

其中：

• $u = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ 表示波在介质中的传播速度。

电场方向与传播方向

在各向同性介质中，电磁波的电场 $\vec{E}$ 与传播方向 $\vec{k}$ 垂直：

$$\nabla \cdot \vec{D} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{k} \cdot \vec{E} = 0$$

---

磁场与电磁波方向关系

磁场的复表示为：

$$\vec{H} = \text{Re} \left[ \vec{H}_0 e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \right]$$

在各向同性介质中，磁场 $\vec{H}$ 的方向与传播方向 $\vec{k}$ 垂直，与电场 $\vec{E}$ 也垂直。

电场与磁场的关系

由麦克斯韦方程：

$$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

可得：

$$\vec{k} \times \vec{E} = \omega \mu \vec{H}$$

进一步推导：

$$\vec{E} \times (\vec{k} \times \vec{E}) = \omega \mu \vec{E} \times \vec{H}$$

化简为：

$$\vec{E} \times \vec{H} = \frac{1}{\omega \mu} \vec{k} E^2$$

说明：

• 在各向同性介质中，$\vec{E} \times \vec{H}$ 的方向与传播方向 $\vec{k}$ 一致。

---

平面电磁波沿 $x$ 正方向传播时

假设电场方向为 $y$ 方向，则磁场方向为 $z$ 方向：

$$\vec{k} \times \vec{E} = \omega \mu \vec{H}$$

则：

$$E = E_0 \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right) \quad H = H_0 \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right)$$

其中：

• $k = \frac{\omega}{c}$
• $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$

磁场振幅：

$$H_0 = \frac{E_0}{\mu_0 c} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} E_0$$

沿 $x$ 轴负方向传播时：

$$E = E_0 \cos \omega \left( t + \frac{x}{c} \right) \quad H = -H_0 \cos \omega \left( t + \frac{x}{c} \right)$$

沿x轴正向传播的电磁波

$$E_y = E_0 cos \omega(t-\dfrac{x}{u}) \\ H_z = H_0 cos \omega(t - \dfrac{x}{u})$$

沿x轴负向传播的电磁波

$$E_y = E_0 cos \omega(t+\dfrac{x}{u}) \\ H_z = -H_0 cos \omega(t+\dfrac{x}{u})$$

电场强度和磁场强度的关系

$$H_0 = \dfrac{E_0}{\mu u} = \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E_0 \implies H_z = \dfrac{E_y}{\mu u}= \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E_y$$

反正结论就是

$$H = \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E \quad \sqrt{\epsilon} E = \sqrt{\mu}H$$

总结

可以总结出如下结论：

1. 电磁波是横波，$\vec{E}$与$\vec{H}$分别在相互垂直的平面内振动，并与$\vec{u}$构成右手螺旋系。

2. 电磁波存在偏振性

3. $\vec{E}$与$\vec{H}$同相位：电磁波中的电场强度和磁感应强度都作周期性变化，在任意给定的位置，两者的相位相同。

4. $\vec{E}$与$\vec{H}$在数值上成比例

   $$\sqrt{\epsilon} E = \sqrt{\mu}H$$

5. 电磁波在媒质中传播的速度$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$

   • 电磁波在真空中的传播速度$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$即为光速

电磁波的能量

坡印廷矢量

$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$$

坡印廷矢量描述了对任意一个闭合曲面而言，流出去的能量

电磁波能量密度

即单位体积的电磁能量 $w$，综合前面所学的知识，可以知道电场能量和磁场能量的密度，从而得到总的电磁能量密度

$$w_e = \dfrac{\epsilon E^2}{2} \quad w_m = \dfrac{\mu H^2}{2} \\ w = w_e + w_m = \dfrac{1}{2}(\epsilon E^2+\mu H^2)$$

电磁波能流密度

单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能，称为能流密度

$$S = wu = \dfrac{u}{2}(\epsilon E^2+\mu H^2) \\ \sqrt{\epsilon} E = \sqrt{\mu}H \quad u = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} \\ \implies S = \frac{1}{2 \sqrt{\epsilon \mu}} (2\sqrt{\epsilon} E \sqrt{\mu} H) = EH$$

结论：

$$S = EH$$

电磁波能流密度与坡印廷矢量

由上面能流密度的推导，可得数值上

$$S = EH$$

又由于辐射能的传播方向$\vec{S}$、$\vec{E}$的方向及$\vec{H}$的方向三者相互垂直，符合右手螺旋定则

故能流密度的矢量表示如下，即为坡印廷矢量

$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$$

电磁波的强度（平均能流密度）

电磁波强度即为平均能流密度

$$\begin{aligned} I &= \overline{S} = \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \overline{E^2} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E_0^2 = \dfrac{1}{2}E_0 H_0 = \dfrac{\epsilon_0 c E_0^2}{2} \end{aligned}$$

电磁波的功率

由坡印廷矢量求功率

$$P = \iint_{A} \vec{S} d\vec{A}$$

电磁波平均功率：通过横截面积A

$$\overline{P} = \iint_{A} \vec{\overline{S}} d\vec{A}$$

电磁波平均功率：通过闭合曲面A

$$\overline{P} = \oiint_{A} \vec{\overline{S}} d\vec{A}$$

电磁波的质量与动量

由质能关系，可得电磁场的质量密度（$w$表示电磁波能量密度，$c$代表光速）

$$m = \dfrac{w}{c^2}$$

电磁场的动量密度

$$p = \frac{E}{c} = \frac{w}{c}$$

电磁波的辐射压强

$$\dfrac{dF}{dS} = \frac{dP}{dS dt} = \dfrac{pdSdl}{dSdt} = pc = w$$

• 平均压强

  $$\overline{\frac{F}{\Delta S}} = \overline{w} = \frac{\overline{S}}{c}$$

16.3 电磁波的产生

估计不考

Chapter 17 光的干涉和衍射

干涉：分立的、有限多的光束的相干叠加

衍射：连续的、无穷多的子光波的相干叠加

17.1 光的相干性

光源的特性

光源的发光是大量的分子或原子进行的一种微观过程

普通光源发光特点：

• 每一次发光持续时间短
• 发光是随机事件
• 不同原子发的光互相独立
• 同一原子先后发的光互相独立

互相独立：前后发光间隔，频率，相位，振动方向，传播方向都是随机的，都存在差异

相干条件

发生干涉现象的条件：

• 两束光振动频率相同（两列单色光）
• 振动方向相同
• 相位差恒定

两列单色光的叠加

考虑振动频率和方向相同的两束单色光叠加，光波叠加本质上是电场强度叠加

光矢量叠加

引入$\vec{E}$ – 光矢量

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \quad \vec{E}_1 // \vec{E}_2$$

可以写出以下叠加的式子

$$E_1 = E_{10}cos(\omega t -k_1r_1+\varphi_{10}) \\ E_2 = E_{20}cos(\omega t -k_2r_2+\varphi_{20}) \\ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{E_0}cos(\omega t+ \Delta \varphi)$$

其中

$$E_0 = \sqrt{E_{10}^2+E_{20}^2+2E_{10}E_{20}cos\Delta \varphi} \\ \Delta \varphi = \varphi_{10} - \varphi_{20} + (k_2r_2 - k_1r_1)$$

光强的关系

结合之前定义过的光强$I \propto E_0^2$，可得叠加时光强的关系

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} cos \Delta \varphi$$

对于普通光源发出的光，有$\overline{\cos \Delta \varphi} = 0$，是非相干光源

相位的关系

• 如果$\Delta \varphi = \text{const} \implies \varphi_2 - \varphi_1 = \text{const}$，即两个光源发出的光之间具有确定的相位差（指的是初相位之差恒定），则把这两个光源称为相干光源，它们所发出的就是相干光
• 当两束相干光在空间任一点相遇时，它们之间的相位差随空间位置不同而连续变化，$\Delta \varphi$也连续变化，从而在不同位置上出现光强的强弱分布，这种现象就是光的干涉现象

$$k_2r_2 - k_1r_1 = \dfrac{2\pi}{cT}(n_2r_2 - n_1r_1) = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n_2r_2 - n_1r_1)$$

定义光程差$\delta = n_2r_2 - n_1r_1$，可以得到

$$\Delta \varphi = \varphi_{10} - \varphi_{20} + \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda}$$

光程和光程差的定义

• 光程的定义：光波在某一媒质中所经历的几何路程与这媒质的折射率的乘积为光程，用 L 表示
• 光程可理解为在介质中光传播的这段时间内光可以在真空中走的路程
  • 光在介质中传播一定距离与在真空中传播对应的光程，所用时间相等

$$\Delta t = \sum_{i} \frac{\Delta l_i}{v_i} = \sum_i \frac{n_i \Delta l_i}{c} = \frac{L}{c} \implies \text{光程} L = \sum_{i} n_i \Delta l_i$$

• 光程的物理意义：光在折射率为n的介质中传播r的路程所引起的相位的变化，与在真空中传播nr的路程所引起的相位的变化是相同的 $\implies$ 光经过相同的光程所需要的时间是相等的

• 当在一种均匀介质中传播时，光程定义为媒质折射率n与光的几何路程r之积

  $$L = nr$$

• 当光在多种均匀介质中传播时，总的光程L等于光所经过的介质的光程之和

  $$L = \sum_{i} n_ir_i$$

光程差

基本定义

$$\delta = L_2 - L_1 = \sum_{2}n_2r_2 - \sum_{1}n_1 r_1$$

扩展定义

$$\delta = L_2 - L_1 = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i$$

光程差与相位差的关系

$$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta$$

相干性讨论

非相干叠加

由于前面提到过普通光源的发光特性，所以两个不同的普通光源发出的光往往没有相干性，观察不到干涉现象

相干叠加

相干条件：振动频率相同，振动方向相同，相位差恒定。

两列满足相干条件的光被称为相干光：相位差$\Delta \varphi$仅与场点位置有关

相干光的叠加称为相干叠加，可观察到干涉现象

从普通光源获得相干光的途径

用普通光源获得相干光的思路是将来自同一原子的同一次发光“一分为二”。也就是说，要将同一光源上同一点或极小区域发出的一束光分成两束，让它们经过不同的传播路径后，再使它们相遇，它们就是相干光。

具体方法有以下几种：

• 分波阵面法：利用波场中的任一个波前分离出两列波。

• 分振动面法：利用某些晶体的双折射性质，将一束光分解为振动面垂直的两束光。

• 分振幅法：利用两个反射面产生两束反射光。

几种干涉方法举例

1. 分波阵面法

   • 杨氏双缝干涉实验

     

   • 费涅尔双面镜实验

     

   • 费涅尔双棱镜实验

     

   • 洛埃镜实验：当经平面镜反射的光线，与直接射到屏幕上的光相遇，发生干涉，出现干涉条纹。该实验涉及光在反射时的半波损失，后面部分有具体叙述。

     

2. 分振幅法

   • 薄膜干涉

     

3. 分振动面法

   • 晶体双折射

光程差与干涉图样

假设$\varphi_{10} = \varphi_{20}$，光程差与相位差有如下关系

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda}$$

• 干涉极大/干涉相长：明纹

$$\Delta \varphi = 2k\pi \implies \delta = k\lambda \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

• 干涉极小/干涉相消：暗纹

  $$\Delta \varphi = (2k+1)\pi \implies \delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

$k$ 称为级次

光反射过程中的半波损失

半波损失：当入射光在光疏媒质中传播遇到光密媒质时，如果入射角接近于零或90度时，反射光的电矢量的振动方向相对于入射光的电矢量的振动方向几乎相反，发生$\pi$的相位突变，即产生半波损失。此时光程差应加上半个波长。

$$\delta = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i + \dfrac{\lambda}{2}$$

每发生一次半波损失，加一个$\dfrac{\lambda}{2}$。有$n$​次造成半波损失的反射，就加$\dfrac{n\lambda}{2}$

• 注意：折射光没有半波损失

干涉条纹的可见度

$$V=\dfrac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \dfrac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}$$

• 当$I_1<<I_2$时，$I_{max} \approx I_{min},V=0$
• 当$I_1 = I_2 = I_0$时，$I_{min} = 0,V=1$

惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯原理

波面上每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波面的包迹决定了原波动的新的波前。

惠更斯-菲涅耳原理

波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。

17.2 双缝干涉

干涉条件省略不写了

双缝干涉光程差计算

前提条件，称之为傍轴条件：

• 缝长>>缝间距
• 幕与双缝间的距离>>双缝间距，即$L >> d$
• 横向观测范围<<幕与双缝间的距离，即$x<<L$
• 简化为平面问题

$\theta$很小，所以可以近似$sin \theta \approx \theta \approx tan\theta \approx d\dfrac{x}{L}$

且假设

$$\varphi_{10} = \varphi_{20}$$

光程差和相位差：

$$\delta = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i = r_2 - r_1 \approx dsin\theta \approx dtan\theta \approx d\dfrac{x}{L} \\ \Delta \varphi = \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda} = \dfrac{2 \pi}{\lambda} d\dfrac{x}{L}$$

记住光程差结论：

$$\delta = \dfrac{xd}{L}$$

双缝干涉图案分析

• 干涉极大：光强极大位置，明纹

$$\delta = k\lambda = \dfrac{xd}{L} \implies x = k\dfrac{L\lambda}{d} \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

• 干涉极小：光强极小位置，暗纹

  $$\delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{xd}{L} \implies x = (2k+1)\dfrac{L\lambda}{2d} \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

• 对于明纹，$|k|$为级数，对于暗纹，$|k| + 1$为级数，中间级数最低（中央为零级明纹，零级明纹两边为一级暗纹），两边依次增大

若$I_1 = I_2 = I_0$，光强分布为

$$I = 2I_0(1+cos\Delta \varphi) = 4I_0 \cos^2 \frac{\Delta \varphi}{2} = 4I_0 \cos^2 \frac{\pi d}{\lambda L}x$$

可以得到干涉图样为一系列明暗相间的条纹，中心为明纹

相邻明纹或者暗纹的间距

$$\Delta x = x_{k+1} - x_{k} = \dfrac{L \lambda}{d}$$

可以得出结论：（$\theta$不太大时）条纹为等间距分布

各种条件对双缝干涉的影响

波长对条纹的影响

由前面的结论

$$x_k \propto \lambda \quad \Delta x \propto \lambda$$

如果为复色光，可以当成一堆波长不同的单色光组合在一起去看，结果大概会像这样

缝间距，缝长对条纹的影响

$$x_k \propto L \quad \Delta x \propto L \\ x_k \propto \dfrac{1}{d} \quad \Delta x \propto \dfrac{1}{d}$$

干涉条纹可见度

参见前面总体分析

时间相干性

由于同一波列的光才具有相干性，所以有时间相干性条件：光程差小于波列长度

$$\delta \leq L$$

相干长度：相干叠加时的最大光程差 $\delta_{\max}$

• 相干长度等于波列长度

$$L = \delta_{\max}$$

相干时间：与相干长度对应的光传播时间 $\Delta t$

$$L = c \Delta t$$

• 相干时间等于分子或原子每次发光的时间

根据量子力学不确定性，可以得出波列长度，也就是相干长度为

$$\delta_{max} = \dfrac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$$

空间相干性

光源面积过大 $\to$ 光场中两点失去相干性

考虑下面这个问题：点光源向上（x轴正方向）偏离中轴距离$b$

$$\delta = d\dfrac{b}{D} + d\dfrac{x}{L} = d(\dfrac{b}{D} + \dfrac{x}{L})$$

眀纹位置

$$\delta = k \lambda \implies x = (\dfrac{k\lambda}{d}-\dfrac{b}{D})L$$

可见，条纹规律不变，条纹间距不变，整体向x轴负方向移动$\dfrac{b}{D}L$

如果原来的光源不是纯粹的点光源，可以将它看成很多个上述的偏移距离$b$不同的点光源叠加在一起。这会导致可见度下降

可以考虑一种较为极端的情况：当移动距离恰为条纹宽度时，一个子光源的明纹和另一个子光源的暗纹重合，可见度为零。

这种情况下（注意 $b$ 是光源半宽度）

$$\dfrac{b}{D}L = \Delta x= \dfrac{\lambda}{2d}L$$

如果光源半宽度恰好为这个式子对应的 $b$ ，可见度为零。由此，可以求出光源的极限宽度（临界宽度）

$$b_{临}= 2 \dfrac{D\lambda}{2d} = \dfrac{D\lambda}{d}$$

当$2b<b_{临}$时，有干涉条纹

当$2b\geq b_{临}$时，干涉条纹消失，变成非相干叠加

补充其他双缝型干涉装置

空间中的两个相干点光源的干涉图样

从空间中两个点出射的光相干，则是球面波相干

两点光源的位置定义：

两相干点光源 $S_1$ 和 $S_2$ 位于 $z$ 轴上，其坐标分别为：

$$S_1 : (0, 0, d/2), \quad S_2 : (0, 0, -d/2)$$

两点光源的间距为 $d$。

空间中任意点 $P(x, y, z)$ 与光源的距离：

点 $P$ 到 $S_1$ 的距离：

$$r_1 = \sqrt{x^2 + y^2 + \left(z - \frac{d}{2}\right)^2}$$

点 $P$ 到 $S_2$ 的距离：

$$r_2 = \sqrt{x^2 + y^2 + \left(z + \frac{d}{2}\right)^2}$$

两点光源的光程差：

$$\delta = r_2 - r_1$$

相位差：

$$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta$$

代入干涉强度公式，可以得到光强和位置的关系

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \Delta \varphi$$

当光程差 $\delta = m\lambda$ 时（整数倍波长），干涉达到相长条件。

干涉图样的数学描述：

光程差为 $\delta = m\lambda$ 时：

$$r_2 - r_1 = m\lambda$$

将 $r_1$ 和 $r_2$ 带入上述公式，整理得到：

$$r_2^2 = \left(r_1 + m\lambda\right)^2$$

整理一下，得到

$$2dz = m^2 \lambda^2 + 2m\lambda r_1$$

化简后得出：

$$\frac{z^2}{m^2\lambda^2/4} - \frac{x^2 + y^2}{d^2 - m^2\lambda^2/4} = 1$$

这是一个标准的旋转双叶双曲面方程。

干涉图样特点：

• 三维空间中的干涉图样：连续的干涉相长点在空间中形成一系列旋转双叶双曲面。
• 屏幕上的条纹：若在平行于两光源连线的屏幕上观察，则屏幕上的图样为类似双缝干涉的线状条纹。

总结：

• 两个相干点光源在空间中形成旋转双叶双曲面干涉图样。
• 图样的特征由光源间距 $d$、波长 $\lambda$ 以及观察点的坐标共同决定。

菲涅尔双面镜

可以用类似双缝干涉的方法去分析，由于光源$S_1$，$S_2$均经过一次反射，都有半波损失，在光程差里面互相抵消了，所以光程差为

$$r_2 - r_1 \approx d sin\theta \approx d\dfrac{x}{L} \\ \delta = r_2 -r_1 = d \dfrac{x}{L}$$

干涉图样和双缝干涉是一样的

洛埃镜光程差

注意：洛埃镜涉及反射，有一个半波损失，光程差要加$\frac{\lambda}{2}$

也因此，洛埃镜和双缝干涉条纹的相位差相差$\pi$，眀纹暗纹位置完全相反，中心为暗纹

$$r_2 - r_1 \approx d sin\theta \approx d\dfrac{x}{L}\\ \delta = r_2 -r_1 + \dfrac{\lambda}{2} = d\dfrac{x}{L} + \dfrac{\lambda}{2}$$

菲涅尔双棱镜光程差

将此问题化归为双缝干涉处理

设菲涅尔双棱镜中的折射率为$n$，则偏向角为

$$\theta \approx (n-1) \alpha$$

等效光源（双缝）间距和等效光屏距离为

$$d = 2L_1 \sin \theta \approx 2L_1\theta = 2L_1(n-1) \alpha \\ L = L_1+L_2$$

然后就可以直接套用双缝干涉的结论了

$$\delta = \dfrac{xd}{L} = \dfrac{2xL_1(n-1)\alpha}{L_1+L_2} \\ \Delta x = \dfrac{Ld}{\lambda} = \dfrac{L_1+L_2}{2L_1(n-1)\alpha}$$

解题技巧

光程差的变化和条纹间距$\Delta x$变化的关系

题目经常有，改变了XX条件，导致条纹间距$\Delta x$变化了$\Delta(\Delta x)$的这种描述

我们需要根据条纹间距$\Delta x$变化了$\Delta(\Delta x)$这个结果推断出光程差变化了多少这个原因，才能进一步做题

直接用下面这个式子，不解释了

$$\dfrac{\Delta \delta}{\lambda}= \dfrac{\Delta(\Delta x)}{\Delta x} \\ \Delta \delta = \dfrac{\Delta(\Delta x)}{\Delta x}\lambda$$

17.3 薄膜干涉

薄膜的等倾干涉

薄膜的等倾干涉指的是点光源照射到表面平整，厚度均匀的薄膜上产生的干涉条纹。

对于厚度均匀的薄膜，扩展光源投射到薄膜上的光线的光程差，是随着光线的倾角（即入射角i）不同而变化的。

倾角相同的光线都有相同的光程差，因而属于同一级别的干涉条纹，这种干涉叫做等倾干涉。

薄膜等倾干涉的光程差计算

注意此处反射过程中的的半波损失：在第一界面的反射为被光疏媒质的反射，无位相突变。 在第二界面反射时为被光密介质的反射，有位相突变$\pi$（即半波损失）

也就是光线2、3间有附加位相差$\pi$，光程差要加$\dfrac{\lambda}{2}$

$$\delta = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i + \dfrac{\lambda}{2} = n_2(\overline{ab}+\overline{bc})-n_1\overline{ad} + \dfrac{\lambda}{2} \\ \implies \delta = \dfrac{2en_2}{cos\gamma} - 2e \cdot tan\gamma sini \cdot n_1 + \dfrac{\lambda}{2} \\ \implies \delta = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i} + \dfrac{\lambda}{2}$$

薄膜等倾干涉图案分析

眀纹暗纹条件参见前面已经写过的通用的光程差与眀暗纹的关系，此处只进行简单分析

眀纹条件

$$\delta = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i} + \dfrac{\lambda}{2} = k\lambda \\ r = f \tan i$$

条纹级次分布

$e$ 一定时，

$$k \uparrow \to i \downarrow \to r \downarrow$$

• 条纹级次内高外低：内圆纹的级次比外圆纹的级次高

膜厚变化时条纹的移动

$k$ 一定时，

$$e \uparrow \to i \uparrow \to r \uparrow$$

$i$ 一定时，即 $r$ 一定时

$$e \uparrow \to k \uparrow$$

故有以下结论：

• 膜厚变化时，条纹发生移动，方向由内向外
• 当薄膜厚度增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张
• 条纹变密

波长对条纹的影响

$k,e$ 均一定时，

$$\lambda \uparrow \to i \downarrow \to r \downarrow$$

故有

• 波长长的光在内圈（半径小），波长短的光在外圈（半径大）
• 如果使用白光进行薄膜等倾干涉，可以看到红光在内圈，紫光在外圈

总结

等倾干涉条纹有以下特征：

• 等倾干涉图样为明暗相间圆形条纹，条纹形状为一系列同心圆环
• 条纹间距分布：内疏外密
• 条纹级次内高外低：内圆纹的级次比外圆纹的级次高
• 膜厚变化时，条纹发生移动。当薄膜厚度增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张，条纹变密

透射光的干涉

光程差计算

这里两次半波损失抵消

$$\delta_{45} = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i}$$

透射光干涉也是明暗相间圆形等倾条纹，形状为一系列同心圆环

不难发现

$$\delta_{45} = \delta_{23} - \dfrac{\lambda}{2}$$

可以得出结论：反射光明暗条纹与透射光的互补

点光源与面光源对等倾干涉的影响

1. 入射角相同的光线分布在锥面上，对应同一级干涉条纹，故条纹形状不变。
2. 面光源上不同点而入射角相同的入射光，都将汇聚在同一级干涉环上（非相干叠加），因而面光源照明比点光源照明条纹明暗对比更鲜明。
3. 比较：和双缝干涉不同，没有光源宽度和条纹可见度的矛盾：光源宽度增加（点光源→面光源）不会导致条纹可见度下降

薄膜等倾干涉的应用

增透膜

增透膜的原理是在折射率为$n$的玻璃基片上均匀镀上一层厚度为$d$，折射率为$n_c$的透明介质膜。当波长为$\lambda$的单色光由空气（折射率为$n_0$）垂直入射到介质膜表面上时，介质膜上、下表面的反射光在上表面相遇而发生干涉现象。如果正好是干涉极小，则无反射光。根据能量守恒定律，反射光减少，透射光就增强了，就起到了增透的效果。

假设增透膜是为了增强正入射光线，增透膜光学厚度为

$$2dn_c+\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{2k+1}{2}\lambda \\ \implies d = \dfrac{k\lambda}{2n_c} \quad k=1,2\cdots$$

若增透膜是为了增强入射角度为$i$的光线，那么情况变为

$$2d\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i} +\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{2k+1}{2}\lambda \\ \implies d =\dfrac{k \lambda}{2\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}} \quad k=1,2\cdots$$

取$k = 1$，得增透膜的最小厚度

$$d_{min} = \dfrac{\lambda}{2n_c} \\ d_{min} =\dfrac{\lambda}{2\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}}$$

增反膜（高反射膜）

和增透膜的原理是类似的，无非增透膜是介质膜上、下表面的反射光在上表面相遇时出现干涉极小，而增反膜希望两者出现干涉极大

容易计算增反膜的厚度及最小厚度（分别是正入射和入射角度为$i$的光线）

$$d = \dfrac{2k+1}{4}\dfrac{k\lambda}{n_c}\quad k=0,1,2\cdots \\ d = \dfrac{2k+1}{4} \dfrac{k \lambda}{\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}} \quad k=0,1,2\cdots \\ d_{min} = \dfrac{\lambda}{4n_c} \\ d_{min} =\dfrac{\lambda}{4\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}}$$

多层高反射膜

增反膜是可以叠加的，一层不够可以按照算出来的厚度多涂几层

如果真的考你多层膜计算，要记得哪些看清楚哪些面上的反射有半波损失，哪些面上没有！

在玻璃上交替镀上光学厚度均为$\dfrac{\lambda}{4}$的高折射率ZnS膜和低折射率的MgF2膜，形成多层高反射膜。

薄膜的等厚干涉

平行光照射到表面平整，厚度不均匀的薄膜上反射产生的干涉条纹，称为等厚干涉

一组平行光（即入射角$i$一定）投射到薄厚不均匀的薄膜上，其光程差随着厚度$e$而变化，厚度相同的区域，其光程差相同，因而这些区域就出现同一级的干涉条纹，故称为等厚干涉

劈尖干涉

劈尖是夹角很小的两个平面所夹的薄膜，夹角一般在

$$\theta: 10^{-5} \sim 10^{-4} rad$$

一般情况下只考虑对劈尖的平行光垂直入射

注意一次波疏到波密反射，有一个半波损失

可近似认为波程差

$$\delta = 2ne+\dfrac{\lambda}{2}$$

干涉明暗纹，用前面的通用方法判断就行，没啥好说的

条纹间厚度差值

$$\Delta e_k = \dfrac{\lambda}{2n}$$

条纹间距

$$l = \dfrac{\lambda}{2n sin\theta} \approx \dfrac{\lambda}{2n\theta}$$

直接给几个结论：

1. 干涉图样为明暗相间平行于棱边（劈尖）的等间距的直条纹
2. 条纹级次分布：厚度越大，级次越高
3. 由于存在半波损失，若劈尖处贴合，则劈尖处为0级暗条纹
4. $\theta$越小，间距$l$越大，条纹越稀；$\theta$越大，$l$越小， 条纹越密。当$\theta$大到某一值，条纹密不可分，无干涉
5. 当厚度变化时，干涉条纹会发生移动：薄膜增厚（劈尖上板向上移动），条纹向棱边移动；反之，则远离棱边。
6. 透射光干涉条纹的明暗位置与反射光情形刚好相反

劈尖干涉应用

1. 测微小直径、厚度，表面平整度，平行度：固定$\theta, \lambda, n$，通过看干涉条纹的图样可以知道厚度变化
2. 测波长：已知$\theta , n$，测$l$可得$\lambda$
3. 测折射率：已知$\theta,\lambda$，测$l$可得$n$

牛顿环

• 有没有半波损失，请按照题目给的折射率自行考虑！千万不要背结论乱用！
• 这边先按照有半波损失的情况计算

光程差为

$$\delta = 2ne+\dfrac{\lambda}{2}$$

有几何关系

$$r^2 = R^2 - (R-e)^2 = 2Re - e^2 \approx 2Re$$

故有以下近似几何关系

$$e = \dfrac{r^2}{2R} (approx.)$$

结论：

• 明环

  $$r_k = \sqrt{\dfrac{(2k-1)R\lambda}{2n}}$$

• 暗环

  $$r_k = \sqrt{\dfrac{kR\lambda}{n}}$$

  • 暗纹半径有以下关系

    $$r^2_{k+m} - r_k^2 = m \frac{R\lambda}{n}$$

条纹特点：

1. 形状：同心圆环
2. 条纹级次分布：半径越大，级次越高。圆心处为0级暗纹
3. 条纹间隔分布：内疏外密。半径越大，间距越小，推导如下

$r$ 对 $k$ 求导

$$\Delta r = \sqrt{\frac{R\lambda}{n}} \frac{\Delta k}{2\sqrt{k}}= \frac{R\lambda}{2n \sqrt{\frac{k R\lambda}{n}}} \Delta k = \dfrac{R\lambda}{2nr} \Delta k \\ \Delta k = 1 \implies \Delta r = \dfrac{R\lambda}{2nr} \\ \Delta r \propto \dfrac{1}{r}$$

迈克尔逊干涉仪

$M_1$与$M_2$严格垂直——等倾干涉

中心光程差

$$\delta = 2d$$

非中心光程差（入射角$i$）

对于薄膜等倾干涉，有光程差结论

$$\delta = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i} + \dfrac{\lambda}{2}$$

而在迈克尔孙干涉仪的等倾干涉中，这层薄膜是空气（虚空气膜），所以有$n_1 = n_1 = 1$，所以光程差为

$$\delta = 2d cosi$$

两相干光束在空间完全分开，并可用移动反射镜或在光路中加入介质片的方法，改变两光束的光程差。

$$k \uparrow \implies i \downarrow \implies r \downarrow \\ d \uparrow \implies k \uparrow$$

条纹从中央冒出(或缩进) $\Delta N$个条纹，M1平移的距离为

$$\Delta d = \dfrac{\lambda}{2} \Delta N$$

特点：

1. 条纹级次：内高外低，k自内向外依次递减
2. 内疏外密
3. $d$变化时，条纹发生移动。当$d$增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张，条纹变密。d每增大$\dfrac{\lambda}{2}$，就多冒出一个条纹

$M_1$与$M_2$不垂直——等厚干涉

类似于劈尖干涉

近似为

$$\delta = 2{d}$$

应用

1. 测量微小位移

   $$\Delta d = \dfrac{\lambda}{2} \Delta N$$

2. 测量波长

   $$\lambda = \dfrac{2 \Delta d}{\Delta N}$$

3. 测介质的折射率

   若在一条光路上放一长度为$l$，折射率为$n$的透明介质

   

   光程差变化为

   $$\Delta \delta = 2(n-1)l = \lambda \Delta N$$

偏振光的干涉

$P_1 ⊥ P_2$

振幅关系

$$A_O = A_1 sin \alpha \quad A_e = A_1 cos \alpha$$

若$P_1 ⊥ P_2$，则有

$$A_{2o} = A_1 sin \alpha \cdot cos \alpha \\ A_{2e} = A_1 cos \alpha \cdot sin \alpha$$

相位关系

o，e光相位差

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} d \lvert n_o-n_e \rvert + \pi$$

o,e光的干涉

经P2出射的是两束振幅相等，振动方向相同，具有确定相位差的相干光，且它们在空间重合。因此这两束光将发生干涉。

o,e光光程差（设波片厚度为$d$）

$$\delta = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2}$$

• 干涉极大：光强极大位置，明纹

$$\delta = k\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{2k-1}{\lvert n_e - n_o \rvert} \dfrac{\lambda}{2} \quad k=1,2\cdots$$

• 干涉极小：光强极小位置，暗纹

  $$\delta = \dfrac{2k+1}{2}\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{k}{\lvert n_e - n_o \rvert} \lambda \quad k=0,1,2\cdots$$

$P_1 ∥ P_2$

相位差

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} d \lvert n_o-n_e \rvert$$

o,e光光程差

设波片厚度为$d$

$$\delta = \lvert n_o-n_e \rvert d$$

• 干涉极大：光强极大位置，明纹

$$\delta = k\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{2k-1}{\lvert n_e - n_o \rvert} \dfrac{\lambda}{2} \quad k=1,2\cdots$$

• 干涉极小：光强极小位置，暗纹

  $$\delta = \dfrac{2k+1}{2}\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{k}{\lvert n_e - n_o \rvert} \lambda \quad k=0,1,2\cdots$$

17.4 夫琅禾费衍射

衍射分类

• 菲涅耳衍射：光源 S距衍射屏（小孔或狭缝）以及观察屏 P 距离衍射屏（小孔或狭缝等）都在有限远处（或观察屏 P在有限远处）

• 夫琅禾费衍射：光源S距衍射屏以及屏幕 P距衍射屏都为**“无限远”**。

单缝的夫琅禾费衍射

菲涅耳波带法/半波带法

• 透镜不会产生附加的光程差

最大光程差

$$\Delta = BC = a \sin \theta$$

半波带的概念

半波带法：图中 $\Delta =a \sin \theta = \frac{\lambda}{2}$ 时，AB就可以分成两个半波带，两个半波带之间干涉相消，得到暗纹

暗纹条件（准确）

推广以上的这种思路，当有偶数个半波带时，各个半波带之间会两两干涉相消，屏上得到的衍射结果就是暗纹中心，故暗纹条件为

$$a \sin \theta = \pm 2k \frac{\lambda}{2} \quad k = 1,2,3,\cdots$$

明纹条件（近似）

类似地，当波振面AB可分为奇数个半波带时，半波带之间也会两两干涉相消，最后剩下一个半波带中的衍射光线未被抵消，对应的屏上相聚点为明纹中心

$$a \sin \theta = \pm (2k+1) \frac{\lambda}{2} \quad k = 1,2,3,\cdots$$

另外，很容易想象中央$a \sin \theta = 0$处是中央明纹，并且一级暗纹之间都是明纹区域

除了明纹和暗纹之外，其他的就是过渡区域

• 以上所有结论都是一个近似的定性推导，严谨的定量推导需要用惠更斯-菲涅耳原理+球面积分得到，但是太复杂了，大雾不考具体推导的内容

积分推导

建议使用旋转矢量法（相量法）

$$E_p = |AB| = 2 \frac{E_0}{\beta} \sin \frac{\beta}{2}$$

两边平方得到

$$E_p^2 = E_0 \left(\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2$$

由于$I \propto E^2$，所以有

$$I = I_0 \left(\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2 \quad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin \theta$$

结论（前面写这部分的时候 $\beta$ 定义有点不一样，懒得改了）：

$$I = I_0 (\dfrac{sin \beta}{\beta})^2 \\ \beta = \dfrac{\pi a sin \theta}{\lambda}$$

求导找极值

$$\dfrac{dI}{d \beta} = 0 \implies \begin{cases} sin \beta = 0 & 极小 \\ tan \beta = \beta & 极大 \end{cases}$$

衍射眀，暗纹位置的结论

1. 主极大（中央眀纹中心）

   $$\theta = 0 \implies \beta = 0 \implies I = I_0 = I_{max}$$

2. 极小（暗纹）位置（准确）

   $$sin \beta = 0 \implies \beta = \pm k \pi \quad k=1,2,3\cdots \\ \implies a \sin{\theta} = \pm k\lambda \approx a tan \theta = a \dfrac{x_k}{f} \approx a \theta$$

   由上面的推导，可得暗纹位置

   $$x_k = \pm \dfrac{f}{a} k \lambda \quad k=1,2,3\cdots$$

3. 高阶极大（眀纹）位置（近似）

   $$tan \beta = \beta \implies \beta \approx (2k+1)\dfrac{\pi}{2} \\ \implies a\sin{\theta} = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} \approx a \tan{\theta} = a\dfrac{x_k}{f} \approx a \theta$$

   可得高阶眀纹位置

   $$x_k = \pm \dfrac{f}{a} (2k+1) \dfrac{\lambda}{2} \quad k=1,2,3\cdots$$

衍射条纹宽度

中央眀纹宽度

易知中央条纹宽度即为第一级暗纹位置之差，故可得中央条纹线宽度和角宽度

$$\Delta \theta_0 = 2\theta_1 \approx 2 \dfrac{\lambda}{a} \\ \Delta x_0 = 2f\cdot tan \theta_1 \approx 2f \dfrac{\lambda}{a}$$

其他级眀纹

其他明纹宽度也用暗纹位置之差去算，是中央眀纹宽度的一半

$$a\dfrac{\Delta x_k}{f} \approx \lambda \\ \Delta x_k = f\dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{1}{2} x_0 \\ \Delta \theta_k = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{1}{2} \theta_0$$

平行光其他方式入射

应该不考，考的话出卷人🐎没了

$$asin \theta \rightarrow a(sin\theta + sin i) \\ \implies \beta = \dfrac{\pi a (sin \theta+sin i)}{\lambda}$$

单缝衍射特征总结

1. 缝位置变化不影响条纹位置分布
2. 暗纹和中央明纹位置精确，其它明纹位置只是近似
3. 中央亮纹集中大部分能量，中央明纹最亮，明条纹级次越高，亮度越弱，即亮度逐级下降。
4. 中央亮纹宽度是其他亮纹宽度的两倍；其他亮纹的宽度相同。
5. $\dfrac{\lambda}{a} \rightarrow 0 \quad \Delta \theta_0 \rightarrow 0$ : 波动光学退化到几何光学
6. $\dfrac{\lambda}{a} \rightarrow 1 \quad \Delta \theta_0 \rightarrow \pi$：观察屏上不出现暗纹
7. $\Delta \theta_0 = 2\theta_1 \approx 2 \dfrac{\lambda}{a}$：波长$\lambda$越长，缝宽$a$越小，条纹宽度越宽

另外，还有一下结论：

• 由于有透镜的存在，如将单缝位置作上下小距离移动，屏上衍射条纹不变

双缝衍射

需要考虑

• 两个缝的两套衍射条纹通过透镜重合

  $$I \propto \left( \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}} \right)^2 \quad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin \theta$$

• 两个缝之间光线的干涉，前面已经推导过了

  $$I \propto \cos^2 \frac{\varphi}{2} \quad \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta$$

故总和效果为

$$I = I_0 \left( \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}} \right)^2 \cos^2 \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}$$

最后结果就是各双缝干涉受到单缝衍射的调制

缺极现象

当干涉极大遇到衍射极小的时候，出现缺极现象

17.5 圆孔衍射与光学仪器的分辨本领

圆孔的夫琅禾费衍射

理论计算，可得爱里斑对透镜中心的张角$\theta_1$与孔直径$D$和入射光$\lambda$的波长的关系为

$$D \cdot sin \theta_1 \approx D \theta_1 \approx 1.22 \lambda \\ \implies \theta_1 = \dfrac{1.22 \lambda}{D}$$

可以得出艾里斑半径为

$$r = f \tan \theta_1 \approx f \theta_1 = 1.22 \dfrac{\lambda f}{D}$$

光学仪器的分辨力

根据瑞利判据，最小可分辨张角即为艾里斑对透镜中心的张角

$$\delta \theta = \dfrac{1.22\lambda}{D}$$

最小可分辨点距即为艾里斑半径

$$d_{min} = f \cdot \delta \theta = 1.22 \dfrac{\lambda f}{D}$$

定义分辨本领为

$$R = \dfrac{1}{\delta \theta} = \dfrac{D}{1.22\lambda}$$

17.6 光栅衍射

概念

光栅

大量（N条）等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件

种类：1.衍射光栅 2.反射光栅

此处主要讨论衍射光栅

光栅常数

$$d = a + b$$

$a$是透光（或反光）部分的宽度

$b$是不透光(或不反光)部分的宽度

多缝干涉

N缝光栅的衍射等效于单缝衍射+多缝干涉，下面先计算多缝干涉

多缝干涉的电场表达式为：

$$E = \sum_{n=0}^{N-1} A \cos \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 + (n-1)\varphi \right]$$

将余弦形式转换为指数形式：

$$E = \sum_{n=0}^{N-1} A \exp \left\{ i \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 + (n-1)\varphi \right] \right\}$$

提取公因子：

$$E = A \exp \left\{ i \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 \right] \right\} \sum_{n=0}^{N-1} \exp \left[ i (n-1)\varphi \right]$$

将求和部分展开为几何级数：

$$\sum_{n=0}^{N-1} \exp \left[ i (n-1)\varphi \right] = \frac{1 - \exp(i N \varphi)}{1 - \exp(i \varphi)}$$

最终的电场为：

$$E = A \exp \left\{ i \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 \right] \right\} \frac{1 - \exp(i N \varphi)}{1 - \exp(i \varphi)}$$

又

$$I = EE^*$$

所以有

$$I = I_0 \left(\frac{\sin^2 \frac{N\varphi}{2}}{\sin^2 \frac{\varphi}{2}}\right) = I_0 \left(\frac{\sin\frac{N\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^2$$

其中

$$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta$$

多缝干涉明纹（主极大）条件

$$d \sin \theta = \pm k \lambda \quad k=0,1,2,3\cdots$$

这个式子被称为光栅方程

• 满足光栅方程的明纹路称为主极大

• P 点为主极大时，所有缝在该点的光振动是同相的。

多缝干涉暗纹条件

$$\vec{A} = 0 \to \text{暗纹}$$

各点源发出的光的振幅矢量在P点形成封闭图形，合矢量为零。

有

$$N \varphi = \pm 2k' \pi$$

由 $\varphi$ 的值，可以得出结论

$$d \sin \theta = \pm \frac{k'}{N} \lambda \quad k' = 1,2,\cdots, k' \neq kN$$

如果$k' = kN$，那么回到主极大（明纹）的情况

多缝干涉次极大条件

• 相邻主极大间有N－1个暗纹，有N－2条明纹（次极大）

• 计算表明，次极大的光强仅为主极大的4%

• 当N很大时，次极大的强度很弱，通常无法观察到

光栅衍射光强结论（lsy版本，新）

类似于双缝衍射的情况，N 个缝的 N 套衍射条纹通过透镜后是重合的，故光强除了 N 套光线的干涉，还有每个缝内的光的衍射（相当于单缝衍射），多缝干涉的光强再乘以衍射因子，就得到光栅衍射的光强

$$I = I_0 \left(\frac{\sin\frac{N\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^2 \left(\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2 \\ \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta \quad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin \theta$$

光栅衍射的最终结果

各主极大受到单缝衍射的调制

主极大位置

$$d \sin \theta = \pm k \lambda \quad k=0,1,2,3\cdots$$

暗纹位置

$$d \sin \theta = \pm \frac{k'}{N} \lambda, \quad k' = 1, 2, \dots, \quad k' \neq kN$$

主极大半角宽

离主极大最近的两暗纹间距为

$$d (\sin \theta_{kN+1} - \sin \theta_{kN-1}) = \frac{kN+1}{N} \lambda - \frac{kN-1}{N} \lambda \\ \implies d \cos \theta_{k} \cdot 2\Delta \theta_{k} = \frac{2}{N} \lambda$$

从而主极大的半角宽为

$$\Delta \theta_k = \frac{\lambda}{N d \cos \theta_k}$$

可见光栅缝数目越多，主极大条纹越窄。

可见的最大级数

主极大的最高级数：由于 $sin \theta <1$，固有

$$\pm k < \dfrac{d}{\lambda} \implies \pm k_{\max} = \lceil \frac{d}{\lambda} - 1\rceil$$

• 可见的总级数为 $2 k_{\max} + 1$
• 如果题目问的是可见的总明条纹数量，还需要考虑缺级现象，减去所有缺级的级数！

缺级现象

**缺级现象：**由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再出现亮纹

缺级现象产生条件：多缝干涉的主极大与单缝衍射极小的角位置正好相同。

$$\begin{cases} d \sin\theta= \pm k \lambda & k=0,1,2\cdots & \text{干涉主极大} \\ a \sin{\theta} = \pm n \lambda & n=1,2,3\cdots & \text{衍射极小} \end{cases}$$

从而可以得出缺级现象的发生条件

$$\dfrac{d}{a}= \dfrac{k}{n} \implies k = \frac{d}{a} n$$

$k = \frac{d}{a} n$为整数，即$\frac{d}{a}$是整数比的时候，会发生缺级！

• 当出现一组满足缺级的情况时，一般称之为第 $k$ 级缺级
• 由于$d > a \implies \frac{d}{a} > 1$，所以一般有 $k > n$

光栅光谱

光栅衍射的基本公式为：

$$d \sin \theta = \pm k \lambda$$

分析：

• $k = 0$：对应 $\theta = 0$，与波长 $\lambda$ 无关， 所有颜色的光都会会聚到中央主极大中心位置，此处颜色不会分离，仍是白光。
• $k \neq 0$：当 $\lambda \downarrow \rightarrow \theta \downarrow$，$\lambda \uparrow \rightarrow \theta \uparrow$ （对于同一级）。

故白光经过衍射后，由于不同波长的光同级主极大的衍射角不同，不同颜色的光会分离，使得衍射光谱中呈现出不同颜色的条纹，例如：

• 红光 ($R$)：波长较长，衍射角较大。
• 紫光 ($V$)：波长较短，衍射角较小。

复色光通过光栅后，因不同波长的光衍射角不同，会形成不同颜色的光条纹分离的现象，这就是光栅光谱。

光栅分辨颜色的能力

由瑞利判据：波长为 $\lambda + \Delta \lambda$的 $k$ 级主极大恰好与波长为 $\lambda$ 的 $k$ 级主极大的边缘，即最临近极小重合，称为能分辨（的极值位置）

根据以上判据，可以写出

$$\begin{cases} d \sin \theta = k(\lambda + \Delta \lambda) \\ d \sin \theta = \frac{kN + 1}{N} \lambda \end{cases} \implies k\Delta \lambda = \frac{\lambda}{N}$$

从而得到

$$\Delta \lambda = \dfrac{\lambda}{kN}$$

由此定义光栅的颜色分辨能力为

$$R = \dfrac{\lambda}{\Delta \lambda} = kN \propto k,N$$

斜入射的光栅方程

$$d(\sin \theta - \sin i) = \pm k \lambda \quad k=0,1,2\cdots$$

分析：

1. 同侧

   $$k_{max} < \dfrac{d(1+\sin i)}{\lambda}$$

2. 异侧

   $$k_{max} < \dfrac{d(1-\sin i)}{\lambda}$$

3. $k_{max}$取满足这个两个式子的最大整数

4. 两者相加再+1是能看到的总主极大条纹数

5. 半角宽结论不影响，仍然适用！

X射线晶体衍射

分析时，可以把晶体直接看作反射光栅处理

两束平行光分别被原子A和B反射，光程差为

$$\delta = 2 d \sin \theta$$

其中$\theta$是掠射角（入射X射线角度），$d$为相邻反射原子层的间距，即反射晶面间距

布拉格公式

• 同一晶面上相邻原子散射的在反射方向上的光波光程差为零，相干加强，形成干涉极大，故反射方向强度最大

• 一组晶面，不同层之间的反射相干叠加。若要在反射方向上使得不同晶面的原子散射光相干加强，达到最大强度，需满足布拉格公式

• 其实就是晶面不同层之间的光程差满足干涉极大

$$\delta = 2 d \sin \theta = k \lambda \quad k=1,2,3 \cdots$$

Chapter 18 光的偏振

18.1 光的偏振性

$$E_x = E_{x0} cos(\omega t -kz+\varphi_1) \\ E_y = E_{y0} cos(\omega t -kz+\varphi_2) \\ \vec{E} = E_x \vec{i} + E_y \vec{j} \\ \Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2$$

x轴/y轴分量的相位差与偏振形态的关系如下图所示

线偏振光

两个分光的相差决定合成光是否为线偏振光

当$\Delta \varphi = 0 或 \pi$时，为线偏振光

$Ex_0$和$Ey_0$的比值决定合成光光矢量与坐标轴的夹角

自然光

在观察时间$\Delta t$内，在垂直于其传播方向的平面内，光矢量在哪个方向都不占优势，没有偏振性，它们对其传播方向形成轴对称分布。

自然光可以沿着与光传播方向垂直的任意方向上分解成两束振动方向相互垂直、振幅相等、无固定相位差的非相干线偏振光

部分偏振光

完全偏振光和自然光是两种极端情形，介于二者之间的一般情形称为部分偏振光。

做题时，部分偏振光一般看成自然光部分和线偏振光部分的叠加来处理（分别分析两部分，再叠加）

圆偏振光/椭圆偏振光

椭圆偏振光

特征：光矢量绕着光的传播方向旋转，其旋转角速度等于光的角频率；光矢量端点的轨迹是椭圆。

椭圆偏振光可以看成由两个频率相同、振动方向互相垂直、有固定相位差的线偏振光的叠加。

圆偏振光是椭圆偏振光的特例。

特征：光矢量绕着光的传播方向旋转，其旋转角速度等于光的角频率；光矢量端点的轨迹是一个圆。

偏振度

$$P = \dfrac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$$

18.2 偏振片，马吕斯定律

马吕斯定律

强度为$I_1$的线偏振光，通过检偏器后，透射光的强度为

$$I_2 = I_1 cos^2 \alpha$$

其中$\alpha$为检偏器的偏振化方向与入射偏振光的偏振化方向之间的夹角。

检偏

自然光

$$I_1 = \dfrac{I_0}{2}$$

• 自然光在各个方向上的强度都是相同的，检偏后光强与偏振片角度无关

线偏振光

就马吕斯定律啊

部分偏振光

看成自然光和线偏振光的叠加来处理

18.3 反射光和折射光的偏振

自然光在两各向同性媒介分界面上反射和折射时，反、折射光均成为部分偏振光

特点：反射光中垂直入射面的光振动多于平行入射面的光振动，折射光反之。

布儒斯特定律

当入射角为某特定值时，反射光为振动方向垂直于入射面的线偏振光。此时有

$$i_0 + \gamma = 90\degree$$

通过折射定律，可以导出布儒斯特角满足以下关系式

$$\tan i_0 = \dfrac{n_2}{n_1} = n_{21}$$

$i = i_0$时，反射光为线偏振光，而折射光仍然是部分偏振光，但此时偏振化程度最高

如果想增强折射光的偏振化程度，可让自然光通过玻璃片堆，可使折射光的偏振化程度增加。玻璃片足够多时，可使折射光为完全偏振光

18.4 晶体的双折射现象

基本概念

双折射现象：对于各向异性晶体，一束光射入晶体后，可以观察到有两束折射光的现象。

o光：恒遵守通常折射定律的光线 （o for ordinary）

e光：不遵守通常折射定律的光线 （e for extraordinary）

• o光折射线一定在入射面内。
• e光折射线不一定在入射面内。

光轴：当光在晶体内沿某个特殊方向传播时不发生双折射，该方向称为晶体的光轴。

• 光轴是一特殊的方向，凡平行于此方向的直线均为光轴。

主平面：某一光线(o光或e光)与光轴组成的平面

一般情况下，e光不一定在入射面内，o光和e光的主平面并不重合

o光和e光均为线偏振光

• o光的振动方向垂直于它自己的主平面
• e光的振动方向平行于它自己的主平面

单轴晶体的波阵面

• o光传播时，电矢量垂直于光轴，所以沿各个方向传播时，振动频率相同，则速度也相同，其波面为球面。
• e光在不同方向传播时，电矢量相对于光轴的方向不同，其振动频率也不同，所以速度也不同，其波面为旋转椭球面。
• o光和e光形成两种不同的波阵面，两种波阵面在光轴方向相切

o光和e光的折射率

由于e光在不同方向传播速度不同，折射率也不同。定义e光折射率如下：

设e光沿与光轴垂直方向传播时的速度为$v_e$，则e光折射率为

$$n_e = \dfrac{c}{v_e}$$

o光的速度与方向无关，折射率也与方向无关，定义o光折射率为

$$n_o = \dfrac{c}{v_o}$$

o光和e光在晶体的光轴方向传播速度相等，在其他方向两者的传播速度不相等。

正晶体和负晶体

根据两种光折射率的相对大小，将晶体分为正晶体和负晶体。

• 正晶体：o光传播速度比e光传播速度大

$$v_e < v_o \quad n_e > n_o$$

• 负晶体：o光传播速度比e光传播速度小

  $$v_e > v_o \quad n_e < n_o$$

各种双折射情况分析

1. 光轴斜交于晶体表面且平行于入射面，正入射

2. 光轴斜交于晶体表面且平行于入射面，斜入射

3. 光轴垂直于晶体表面且平行于入射面，正入射

4. 光轴平行于晶体表面和入射面，正入射

5. 光轴平行于晶体表面且垂直于入射面，正入射

6. 光轴平行于晶体表面且垂直于入射面，斜入射

18.5 偏振光的获得

波晶片

相位延迟片，常叫波片

晶片是光轴平行于表面的单轴晶体薄片。

垂直入射光的出射光为同方向但有确定的附加相差的两束线偏振光的合成光。 o光和e光的主平面重合。

光强

入射光的光矢量发生矢量分解（投影），垂直光轴的分量为o光，平行光轴的分量为e光，光矢量大小如下

$$A_e = A \cos \alpha \quad A_o = A \sin \alpha$$

由此很容易得到o光，e光光强的与原来光强$I_0$的关系

$$I_e = I_0 \cos^2 \alpha \quad I_o = I_0 \sin^2 \alpha$$

光程差

穿过d厚度后，o光和e光的光程差和相位差（e光相对o光）分别为

$$\delta = (n_e - n_o)d \\ \Delta \varphi = \varphi_e - \varphi_o = \dfrac{2\pi}{\lambda} \delta = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n_e - n_o)d$$

P.S. 如果原来的入射光在o光和e光方向上就有相位差，那么把此处推导出的结果作为附加的光程差和相位差

出射光的特征

代入上面讨论出射光的光强和光程差的结论

$$E_x = E_{e} cos(\omega t -kz+\varphi_1 + \Delta \varphi_{波片}) \\ E_y = E_{o} cos(\omega t -kz+\varphi_2) \\ E_e = E \cos \alpha \quad E_o = E \sin \alpha \\ \Delta \varphi = \Delta \varphi_{波片} +(\varphi_2 - \varphi_1)\\ = \varphi_e - \varphi_o +(\varphi_2 - \varphi_1) = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n_e - n_d)d +(\varphi_2 - \varphi_1)$$

出射光的偏振特性由前面计算过的相位差$\Delta \varphi$决定。

相位差$\Delta \varphi$与出射光的偏振特性的关系在18.1中已经提过，如下图。波片的出射光线大部分情况下是椭圆偏振光，特殊情况下是线偏振光。

四分之一波片

代入上面的公式，四分之一波片附加的光程差和相位差为

$$\delta = \dfrac{\lambda}{4} \quad \Delta \varphi = \dfrac{\pi}{2}$$

结合对于光强的分析

$$I_e = I_0 \cos^2 \alpha \quad I_o = I_0 \sin^2 \alpha$$

很容易得出以下这些结论

1. 线偏振光通过$\frac{\lambda}{4}$波片后将变为正椭圆偏振光

   
   • 特别地，当$\alpha = \frac{\pi}{4}$时，为圆偏振光
   • 特别地，如果原来的线偏振光就垂直于光轴或者平行于光轴，那么出射光还是线偏振光

2. 圆偏振光通过$\frac{\lambda}{4}$波片后变为线偏振光

   $$E_e = E_o \\ \Delta \varphi_{原} = \dfrac{\pi}{2} \quad \Delta \varphi_{后} = \Delta \varphi_{原} + \Delta \varphi = \pi \\ \Delta \varphi_{原} = \dfrac{3\pi}{2} \quad \Delta \varphi_{后} = \Delta \varphi_{原} + \Delta \varphi (= 2\pi) = 0$$

3. 椭圆偏振光经通过四分之一波片后一般还是椭圆偏振光，但有以下特例：

   • 主轴（长轴或短轴）与波片光轴平行的正椭圆偏振光通过$\dfrac{\lambda}{4}$波片后变为线偏振光
   

$$E_e \neq E_o \\ \Delta \varphi_{原} = \dfrac{\pi}{2} \to \Delta \varphi_{后} = \pi \\ \Delta \varphi_{原} = \dfrac{3\pi}{2} \to \Delta \varphi_{后} = 2 \pi$$

4. 自然光通过四分之一波片后，还是自然光

产生圆偏振光

单色线偏振光通过四分之一波片，可以得到圆偏振光

获得圆偏振光的条件：

1. 光轴与线偏振光的振动方向夹角为$45^{\circ}$

   $$E_o = E_e \implies E\sin \alpha = E \cos \alpha \implies \alpha = \frac{\pi}{4}$$

2. o光和e光的相位差应为$\frac{\pi}{2}$，使用的波片应该为四分之一波片

   $$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} (n_o - n_e) d = \frac{\pi}{2} \implies d = \frac{\lambda}{4(n_o - n_e)}$$

偏振光的检验

1. 区分自然光和圆偏振光

   • 自然光经$\dfrac{\lambda}{4}$波片后仍为自然光，转动检偏器，光强没有变化。
   
   • 圆偏振光经$\dfrac{\lambda}{4}$波片后成为线偏振光，转动检偏器，有最大光强和消光。
   

2. 区分部分偏振光和椭圆偏振光

   • 旋转$\dfrac{\lambda}{4}$波片的光轴方向使之平行于椭圆偏振光的长轴或短轴，经$\dfrac{\lambda}{4}$波片后椭圆偏振光变为线偏振光，转动检偏器，有最大光强和消光。
   
   • 因为部分偏振光有自然光成份，部分偏振光经波片后仍为部分偏振光，转动检偏器，有最大和最小光强，无消光。
   

二分之一波片

有附加的光程差和相位差

$$\delta = \dfrac{\lambda}{2} \quad \Delta \varphi = \pi$$

1. 线偏振光通过$\frac{\lambda}{2}$波片后仍然是线偏振光，但振动方向与原振动方向相比转过$2 \alpha$角

推广

线偏振光通过厚度为$\dfrac{\lambda}{2}$的奇数倍的波片后仍为线偏振光，但振动方向与原振动方向相比转过$2\alpha$角（$\alpha$ 为入射线偏振化方向与光轴间夹角）

$$\delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} \quad \Delta \varphi = (2k+1)\pi$$

2. 圆偏振光通过$\dfrac{\lambda}{2}$波片后仍为圆偏振光，但转动方向与原来的相反

3. 椭圆偏振光通过$\dfrac{\lambda}{2}$波片仍为椭圆偏振光，图形关于光轴对称变换，转动方向与原来相反

   • 主轴（长轴或短轴）与波片光轴平行的正椭圆偏振光通过$\dfrac{\lambda}{2}$波片后仍为正椭圆偏振光，图形不变，但转动方向与原来相反

4. 自然光通过二分之一波片仍然是自然光