Chapter10 控制系统的状态空间设计

第10章控制系统的状态空间设计

极点配置

1. 引言与基本概念

1.1 极点配置与根轨迹法的区别

极点配置法是状态空间设计法的核心内容之一，它与经典的根轨迹法在设计思路上有显著区别：

根轨迹法：通常仅将闭环主导极点配置到希望的位置，以此保证系统的动态性能。
极点配置法：可以把所有的闭环极点都配置到任意希望的位置，从而全面控制系统的动态特性。

1.2 适用前提

进行极点配置设计时，通常基于以下假设：

全状态可测：假设所有用于反馈的状态变量都是可以观测（测量）的。若不可测，则需要引入状态观测器。
状态完全可控：这是能够任意配置极点的核心条件。
系统类型：主要讨论单输入单输出（SISO）系统。

2. 状态反馈系统的结构

2.1 系统描述

考虑线性定常连续系统：

$\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}$

2.2 控制律（状态反馈）

选取线性状态反馈控制律：

$u = -Kx$

这意味着控制信号由系统的瞬时状态决定。

$K$ ：状态反馈增益矩阵，对于SISO系统，其维数为 $1 \times n$ 。

2.3 闭环系统方程

将控制律代入原状态方程，得到闭环系统的状态方程：

$\dot{x} = Ax + B(-Kx) = (A-BK)x$

该方程的解为：

$x(t) = e^{(A-BK)t}x(0)$

显然该系统的闭环特征方程为

$|sI - (A-BK)| = 0$

2.4 调节器极点

矩阵 $A-BK$ 的特征值被称为调节器极点。
系统的稳态和瞬态响应特性完全由 $A-BK$ 的特征值决定。
如果所有调节器极点均位于左半平面，当 $t \to \infty$ 时， $x(t) \to 0$ ，系统稳定。
极点配置问题：就是通过选择矩阵 $K$ ，将调节器极点（闭环极点， $A-BK$ 的特征值）配置到期望位置的问题。

注：

该闭环控制系统（调节器系统）无输入量，或者说参考输入恒为0，控制系统的目的是保持输出量为0
调节器系统 (Regulator)：参考输入始终为零或非零常数，目的是保持输出为零或恒定。
控制系统 (Control System)：参考输入是时变的。

3. 极点任意配置的充要条件

3.1 定理

系统闭环极点能够进行任意配置的充分必要条件是：系统状态完全可控。

3.2 必要性证明 (如果不完全可控，则不能任意配置)

思路：利用Kalman规范分解证明不可控部分的特征值无法被改变。

假设系统不完全可控，则可控性矩阵的秩 $rank(M) = q < n$ 。
通过线性变换 $x = P\hat{x}$ ，将系统按可控性进行分解。选取 $P$ 使得前 $q$ 列线性无关（构成可控子空间），后 $n-q$ 列为附加的补余向量。

$P = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_q & v_{q+1} & v_{q+2} & \cdots & v_n \end{bmatrix}$

变换后的系统矩阵 $\hat{A}$ 和输入矩阵 $\hat{B}$ 具有如下形式：

$\hat{A} = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}, \quad \hat{B} = P^{-1}B = \begin{bmatrix} B_{11} \\ 0 \end{bmatrix}$

定义变换后的反馈增益 $\hat{K} = KP = [k_1 \quad k_2]$ 。
闭环特征多项式为：

$\begin{aligned} |sI - (A-BK)| &= |sI - (\hat{A} - \hat{B}\hat{K})| \\ &= \left| sI - \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_{11} \\ 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\right| \\ &= \left| \begin{bmatrix} sI_q - A_{11} + B_{11}k_1 & -A_{12} + B_{11}k_2 \\ 0 & sI_{n-q} - A_{22} \end{bmatrix} \right| \\ &= |sI_q - A_{11} + B_{11}k_1| \cdot |sI_{n-q} - A_{22}| \end{aligned}$

结论： $|sI_{n-q} - A_{22}|$ $∣ s I_{n - q} - A_{22} ∣$ 部分的特征值（ $A_{22}$ $A_{22}$ 的特征值）完全取决于原系统，与反馈增益 $K$ $K$ 无关。因此，若系统不完全可控，不可控部分的特征值无法配置。
- 即为了任意配置矩阵 $A-BK$ 特征值，系统必须是状态完全可控的。

3.3 充分性证明 (如果完全可控，则可任意配置)

思路：将系统变换为可控标准形，证明反馈可以影响特征方程的所有系数。

若系统完全可控，存在变换矩阵 $T$ ，使得 $\hat{x} = T^{-1}x$ 变换后的系统为可控标准形。
- 可控标准形矩阵 $\hat{A}$ 的最后一行包含原特征方程的系数 $-a_n, \dots, -a_1$ 。
- 输入矩阵 $\hat{B} = [0, \dots, 0, 1]^T$ 。

$\dot{\hat{x}} = \hat{A} \hat{x} + \hat{B} u = T^{-1} A T \hat{x} + T^{-1} Bu$

其中

$\hat{A} = T^{-1} A T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \dots & -a_1 \end{bmatrix}, \hat{B} = T^{-1}B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

在可控标准形下，施加反馈 $u = -\hat{K}\hat{x}$ ，其中 $\hat{K} = KT = \begin{bmatrix}\delta_n & \delta_{n-1} & \cdots & \delta_1 \end{bmatrix}$ 。
闭环系统矩阵 $\hat{A} - \hat{B}\hat{K}$ 相比状态矩阵 $\hat{A}$ 仅在最后一行发生变化，原系数 $-a_i$ 变为 $-(a_i + \delta_i)$ 。

$\begin{aligned} \hat{A} - \hat{B}\hat{K} &= T^{-1} A T - T^{-1} B KT \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \dots & -a_1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\delta_n & \delta_{n-1} & \cdots & \delta_1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -(a_n + \delta_n) & -(a_{n-1} + \delta_{n-1}) & -(a_{n-2} + \delta_{n-2}) & \dots & -(a_1 + \delta_1) \end{bmatrix} \end{aligned}$

闭环特征多项式变为

$\begin{aligned} |sI - (\hat{A} - \hat{B}\hat{K})| &= |sI - (T^{-1} A T - T^{-1} B KT)| \\ &= \left|\begin{bmatrix} s & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & s & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ a_n + \delta_n & a_{n-1} + \delta_{n-1} & a_{n-2} + \delta_{n-2} & \dots & s + a_1 + \delta_1 \end{bmatrix} \right| \\ &= s^n + (a_1 + \delta_1)s^{n-1} + \dots + (a_{n-1} + \delta_{n-1})s + (a_n + \delta_n) \end{aligned}$

新的特征方程为：

$s^n + (a_1 + \delta_1)s^{n-1} + \dots + (a_{n-1} + \delta_{n-1})s + (a_n + \delta_n) = 0$

设期望的特征方程为：

$s^n + \alpha_1 s^{n-1} + \dots + \alpha_{n-1}s + \alpha_n = 0$

通过比较同幂次系数（使同幂次系数相等），可得 $\alpha_i = a_i + \delta_i$ ，从而解出唯一的 $\delta_i$ （即 $\hat{K}$ ），再反变换回原坐标系 $K = \hat{K}T^{-1}$ 。因此，只要可控，即可任意配置。

4. 极点配置的设计步骤与算法

方法一：变换矩阵法 (适用于高阶系统)

利用可控标准形变换矩阵 $T$ 来求解 $K$ 。

步骤：

检验可控性条件：计算可控性矩阵 $M = [B, AB, \dots, A^{n-1}B]$ 并检验其秩是否为 $n$ 。
求开环特征多项式系数：计算 $|sI - A| = s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n$ ，确定 $a_1, \dots, a_n$ 的值。
构造变换矩阵 $T$ ：

$T = MW$

其中 $M$ 为可控性矩阵

$M = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}$

$W$ 为托普利兹矩阵（Toeplitz-like matrix）：本质上是可控标准型的可控性矩阵的逆矩阵，考试时需记忆该形式并直接代入开环多项式系数数值

$W = \begin{bmatrix} a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_1 & 1 \\ a_{n-2} & a_{n-3} & \dots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{bmatrix}$

写出期望特征多项式：根据期望极点 $\mu_i$ ，展开得到 $\prod_{i=0}^n (s-\mu_i) = s^n + \alpha_1s^{n-1} + \dots + \alpha_n$
计算反馈增益矩阵 $K$ ：

$K = [\alpha_n - a_n \quad | \quad \alpha_{n-1} - a_{n-1} \quad | \quad \dots \quad | \quad \alpha_1 - a_1] T^{-1}$

注意：系数向量元素的顺序对应从常数项系数差到 $s^{n-1}$ 系数差

方法二：直接代入法 (适用于 $n \le 3$ 的低阶系统)

直接利用特征方程系数相等求解。

步骤：

设 $K = [k_1, k_2, \dots, k_n]$ 。
计算闭环特征多项式（特征方程）符号表达式 $|sI - A + BK|$ 。
计算期望特征多项式（特征方程） $(s-\mu_1)\dots(s-\mu_n) = s^n + \alpha_1s^{n-1} + \dots + \alpha_n$ 。
令两式中 $s$ 的同次幂系数相等，建立方程组解出 $k_i$

$|sI - A + BK| = (s-\mu_1)\dots(s-\mu_n) \implies k_1, k_2, \cdots, k_3$

5. 期望极点的选择策略

如何选择闭环极点的位置是设计的关键：

主导极点法：基于根轨迹经验，配置一对主导闭环极点以满足阻尼比和自然频率要求，其余极点配置在远离虚轴的左侧（远离主导极点）。
折中原则：
- 响应速度 vs 控制能量：需要在可接受的响应速度与控制能量之间权衡。
- 响应速度过快（极点过远左侧）意味着需要大的控制能量，这会导致执行机构笨重且成本增加。
最优控制：另一种方法是基于二次型最佳控制（LQR）来确定极点。

6. 设计实例详解

题目：
给定系统 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -5 & -6 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。要求配置闭环极点为 $s = -2 \pm j4$ 和 $s = -10$ 。求 $K$ 。
求解过程：

可控性检验：

$M = [B, AB, A^2B] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 1 & -6 & 31 \end{bmatrix}$

$rank(M) = 3$ ，系统完全可控。

确定原系统参数 ( $a_i$ )：

$|sI - A| = s^3 + 6s^2 + 5s + 1$

故 $a_1=6, a_2=5, a_3=1$ 。

确定期望系统参数 ( $\alpha_i$ )：期望多项式 $= (s+2-j4)(s+2+j4)(s+10) = (s^2+4s+20)(s+10) = s^3 + 14s^2 + 60s + 200$ 。故 $\alpha_1=14, \alpha_2=60, \alpha_3=200$ 。
计算 $K$ (方法1：变换矩阵法)：
- 由于原系统已经是可控标准形（友矩阵形式），故变换矩阵 $T = I$ 。
- 根据公式 $K = [\alpha_3-a_3, \quad \alpha_2-a_2, \quad \alpha_1-a_1]T^{-1}$ 。
- $K = [200-1, \quad 60-5, \quad 14-6] = [199, \quad 55, \quad 8]$ 。
计算 $K$ (方法2：直接代入法)：

计算 $|sI - A + BK|$ ：

$\det \begin{pmatrix} s & -1 & 0 \\ 0 & s & -1 \\ 1+k_1 & 5+k_2 & s+6+k_3 \end{pmatrix} = s^3 + (6+k_3)s^2 + (5+k_2)s + (1+k_1)$

对比期望多项式 $s^3 + 14s^2 + 60s + 200$ 。
方程组：

$\begin{cases} 6 + k_3 = 14 \implies k_3 = 8 \\ 5 + k_2 = 60 \implies k_2 = 55 \\ 1 + k_1 = 200 \implies k_1 = 199 \end{cases}$

结果： $K = [199, 55, 8]$ 。

状态观测器 (State Observers)

1. 状态观测器的基本概念

在现代控制理论的状态反馈设计中，通常假设所有的状态变量都是可测量的。但在实际系统中，并非所有状态都能直接通过传感器测量（受限于成本、物理实现等）。

定义：用于估计或观测系统内部不可测状态变量的装置称为状态观测器（State Observer）。
作用：利用系统可测量的输入量 $u$ 和输出量 $y$ ，重构出系统的全部状态向量 $\tilde{x}$ ，用于状态反馈。
分类：
- 全阶状态观测器 (Full-order State Observer)：观测系统的所有 $n$ 个状态变量，无论其是否可测。
- 降阶/最小阶观测器 (Reduced/Minimum-order Observer)：若系统有 $m$ 个输出可测，仅估计剩下的 $n-m$ 个状态变量。

2. 全阶状态观测器的数学模型

2.1 结构与方程

全阶观测器本质上是原系统的一个数学模型，并在其基础上增加了一个基于输出误差的校正项。

原系统方程：

$\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}$

观测器方程：

$\dot{\tilde{x}} = A\tilde{x} + Bu + K_e(y - C\tilde{x})$

整理后可得：

$\dot{\tilde{x}} = (A - K_eC)\tilde{x} + Bu + K_e y$

其中

$K_e$ 为观测器增益矩阵（Observer Gain Matrix）。
$y - C\tilde{x}$ ：输出估计误差。该项用于补偿模型参数（A, B）的不精确性以及初始状态估计（初始状态与估计的初始状态之间）的偏差。

2.2 估计误差动态特性 (Error Dynamics)

为了验证观测器的有效性，必须分析估计误差随时间的变化。

误差向量定义： $e = x - \tilde{x}$ 。
误差微分方程推导：

$\begin{aligned} \dot{e} &= \dot{x} - \dot{\tilde{x}} \\ &= (Ax + Bu) - [A\tilde{x} + Bu + K_e(Cx - C\tilde{x})] \\ &= A(x - \tilde{x}) - K_eC(x - \tilde{x}) \\ &= (A - K_eC)e \end{aligned}$

结论：误差为 $$\dot{e} = (A - K_eC)e$$
误差向量 $e(t)$ 的动态特性完全由矩阵 $A - K_eC$ 的特征值决定。
稳定性要求：如果 $A - K_eC$ 是稳定矩阵（即所有特征值具有负实部，特征值落在LHP），则对任意初始误差 $e(0)$ ，当 $t \to \infty$ 时， $e(t) \to 0$ ，即估计值 $\tilde{x}$ 收敛于真值 $x$ 。
如果系统是完全可观测的，则可证明，可以选择 $K_e$ ，使得 $A-K_eC$ 具有任意所期望的特征值。

3. 观测器的设计与对偶原理

3.1 观测器设计的本质

前提条件：如果系统是完全可观测的，则可证明，可以选择 $K_e$ ，使得 $A-K_eC$ 具有任意所期望的特征值。
设计全阶观测器的问题，转化为确定增益矩阵 $K_e$ ，使得 $A - K_eC$ 具有期望的特征值（极点）。

3.2 对偶问题 (Dual Problem)

观测器设计问题与状态反馈的极点配置问题在数学上是对偶的。

原系统： $(A, B, C)$

$\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}$

对偶系统： $(A^*,C^*,B^*)$

$\begin{cases} \dot{z} = A^* z + C^* v \\ n = B^* z \end{cases}$

关系1：原系统的可观性矩阵（行向量形式）和对偶系统的可控性矩阵相同

$Q'_c = \begin{bmatrix} C^* & A^* C^* & \cdots \end{bmatrix} = Q_o$

关系2：原系统的观测器特征多项式与对偶系统的状态反馈特征多项式相同

$|sI - (A^* - C^*K)| = |sI - (A - K^* C)| = |sI - (A - K_eC)|$

其中 $K_e = K^*$ （即为原系统的观测器增益矩阵）

3.3 设计的充分必要条件

能设计状态观测器（即能任意配置观测器极点）的充要条件是：

原系统的对偶系统是状态完全可控的 。
等价于：原系统是状态完全可观测的。

3.4 求取 $K_e$ 的方法

变换法 (Ackermann公式的推广)

检验对偶系统可控性条件或原系统可观性条件：计算 $Q'_c = \begin{bmatrix} C^* & A^* C^* & \cdots \end{bmatrix}$ 并检验其秩是否为 $n$
求对偶系统的开环矩阵多项式系数： $|sI - A^*| = s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n$ ，确定 $a_1, \dots, a_n$ 的值。
构造变换矩阵 $T$ ： $T = Q'_c W$ ，其中

写出期望的观测器特征多项式：根据期望的观测器极点 $\mu_i$ ，展开得到 $\prod_{i=0}^n (s-\mu_i) = s^n + \alpha_1s^{n-1} + \dots + \alpha_n$
计算观测器增益矩阵 $K_e$ ：

$\begin{aligned} K_e &= K^* = \left([\alpha_n - a_n \quad | \quad \alpha_{n-1} - a_{n-1} \quad | \quad \dots \quad | \quad \alpha_1 - a_1] T^{-1}\right)^* \\ &= (T^{-1})^* \begin{bmatrix} \alpha_n - a_n \\ \alpha_{n-1} - a_{n-1} \\ \cdots \\ \alpha_1 - a_1\end{bmatrix} \\ &= (WQ_o)^{-1} \begin{bmatrix} \alpha_n - a_n \\ \alpha_{n-1} - a_{n-1} \\ \cdots \\ \alpha_1 - a_1\end{bmatrix} \end{aligned}$

推导用到一些矩阵运算性质，我线代学得一坨屎，希望没错：由于W是实对称矩阵，Q_c转置正好是列向量形式Q_o，对于前面乘的变换矩阵可以做如下化简

$(T^{-1})^* = (T^*)^{-1} = (W^* Q'^*_c)^{-1} = (WQ_o)^{-1}$

$Q_o$ 为原系统的可观性矩阵的列向量形式

注意：系数向量元素的顺序对应从常数项系数差到 $s^{n-1}$ 系数差

直接代入法

首先，检验原系统的可观性或对偶系统的可控性

$Q'_c = \begin{bmatrix} C^* & A^* C^* & \cdots \end{bmatrix} = Q_o, \, \text{rank}(Q'_c) = n$

设观测器增益矩阵 $K_e = [k_{e1}, k_{e2}, \dots]^T$
将其代入特征多项式 $|sI - (A - K_eC)|$ ，并令其等于期望的观测器特征多项式
通过对比 $s$ 的同次幂系数求解

$|sI - (A - K_eC)| = (s - \mu_1) \cdots (s - \mu_n)$

3.5 最佳 $K_e$ 的选择与折中

响应速度： $K_e$ 较大时，估计误差收敛快（响应快）。
噪声敏感度：如果测量输出 $y$ 含有噪声， $K_e$ 过大不仅会放大噪声，还可能引入高频干扰。
设计原则： $K_e$ 的选择是快速响应与对干扰/噪声灵敏度之间的折中。通常观测器的极点应选得比系统主导极点快，但不能过远以免带宽过大引入噪声。

4. 观测器-状态反馈控制系统 (分离定理)

当系统状态不可测时，使用观测到的状态 $\tilde{x}$ 代替真实状态 $x$ 进行反馈。

4.1 系统构成

控制律： $u = -K\tilde{x}$ 。
闭环系统方程推导：将 $u = -K(x-e)$ 代入原系统方程：

$\dot{x} = Ax-BK\tilde{x} = Ax + B[-K(x-e)] = (A - BK)x + BKe$

结合误差方程 $\dot{e} = (A - K_eC)e$ ，可得 4.2 中结论

4.2 增广矩阵与特征方程

将状态 $x$ 和误差 $e$ 组合成增广状态向量，得到整个闭环系统的状态空间表达式：

$\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{e} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A - BK & BK \\ 0 & A - K_eC \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ e \end{bmatrix}$

该方程描述了观测-状态反馈控制系统的动态特性

由于系统矩阵是分块上三角矩阵，其特征多项式为对角线上两块特征多项式的乘积，特征方程为：

$\text{特征方程} = |sI - (A - BK)| \cdot |sI - (A - K_eC)| = 0$

4.3 分离性质 (Separation Principle)

重要结论：观测器-状态反馈系统的闭环极点集合，等于由极点配置单独设计的极点与由观测器单独设计的极点的并集。
这意味着：极点配置（控制器设计）和观测器设计是相互独立的，可以分步进行，互不影响。

5. 控制器-观测器的传递函数

将观测器和反馈增益视为一个整体（动态控制器），可以推导其从输出 $y$ 到输入 $u$ 的传递函数。

传递函数（输入输出关系）：

$\frac{U(s)}{Y(s)} = -K(sI - A + K_eC + BK)^{-1}K_e$

这个传递函数代表了反馈回路中的补偿器部分（总的控制器部分）。

简要推导过程：

采用观测器观测到的状态作为状态反馈

$\tilde{u} = - K \tilde{x} \implies \dot{\tilde{x}} = (A - K_eC)\tilde{x} + Bu + K_e y = (A - K_e C - BK) \tilde{x} + K_e y$

进行 Laplace 变换

$\tilde{X}(s) = (sI - A + K_e C + BK)^{-1} K_e Y(s)$

最后代入状态反馈方程的Laplace变换

$\tilde{u} = - K \tilde{x} \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} U(s) = -K \tilde{X}(s) = -K (sI - A + K_e C + BK)^{-1} K_e Y(s)$

整理一下可得从输入到输出的传递函数 $\frac{U(s)}{Y(s)}$

6. 最小阶观测器 (Minimum-Order Observer)

原理：若输出向量 $y$ 是可测量的 $m$ 维向量，且这 $m$ 个输出变量是状态的线性组合，则这 $m$ 个状态变量是已知的。
需观测器观测的阶数：观测器只需要估计剩余的 $n-m$ 个状态变量。
特点：最小阶观测器的阶数为 $n-m$ ，通常比全阶观测器计算量小，结构更简单。

7. 带观测器的调节器系统设计流程

7.1 设计步骤

建模：推导系统的状态空间模型。
极点选择：
- 选择期望的闭环控制极点（决定系统性能）。
- 选择期望的观测器极点（通常应比控制极点快，且需位于左半平面）。
计算增益：确定状态反馈增益矩阵 $K$ 和观测器增益矩阵 $K_e$ 。
仿真与校验：检验对给定初始条件的响应。如果不满意（如超调过大或噪声敏感），需调整极点位置重算。

7.2 参考输入系统的结构

对于有参考输入 $r$ 的系统，观测器控制器的介入位置有多种结构（如参考输入加在观测器回路外或内），需确保输出 $y$ 能跟随输入 $r$ 。

8. 总结与注意事项

时域方法的优势：基于极点配置与观测器的状态空间法功能强大，适用于多变量系统。
稳定性裕量 (Stability Margins)：引入观测器通常会降低系统的稳定裕量。设计完成后，建议使用频率响应法（如伯德图）检查稳定裕量。
噪声与带宽：观测器极点选得过远（带宽过大）会导致高频噪声通过。这是一个工程折中问题。
经典与现代结合：虽然状态空间法很强，但如果能用低阶校正装置（经典控制方法）解决，应优先采用经典方法。

第10章 控制系统的状态空间设计