Chapter9 控制系统的状态空间分析

第9章 控制系统的状态空间分析笔记

1. 引言：经典控制理论 vs 现代控制理论

1.1 经典控制理论

• 基础：建立在输入-输出关系或传递函数的基础上。
• 适用范围：主要用于单输入单输出 (SISO)、线性、定常系统。
• 分析域：复频域 (Complex Frequency Domain)。

1.2 现代控制理论

• 基础：建立在 $n$ 个一阶微分方程组（一阶向量-矩阵微分方程）的基础上。
• 适用范围：多输入多输出 (MIMO)、线性(L)或非线性(Non-L)、定常(TI)或时变(TV)系统。
• 分析域：时域 (Time Domain)。
• 优势：
  • 向量-矩阵表示法极大简化了系统的数学表达式。
  • 状态变量、输入或输出数目的增加不会增加方程形式的复杂性。

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2. 传递函数的状态空间表达式

将传递函数转化为状态空间表达式是现代控制理论建模的基础。一般形式为：

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_0s^n + b_1s^{n-1} + \dots + b_n}{s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n}$$

状态空间标准形式

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \end{cases}$$

2.1 可控标准形 (Controllable Canonical Form)

对应于传递函数

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_0s^n + b_1s^{n-1} + \dots + b_n}{s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n}$$

其状态空间表达式为：

• A 矩阵（友矩阵）：最后一行由特征方程系数的负数构成，上方为移位单位阵。

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \dots & -a_1 \end{bmatrix}$$

• B 矩阵：

$$B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

• C 矩阵（输出方程系数）：

$$C = \begin{bmatrix} b_n - a_n b_0 & b_{n-1} - a_{n-1} b_0 & \dots & b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix}$$

状态方程

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_{n-1} \\ \dot{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u$$

输出方程

$$y = \begin{bmatrix} b_n - a_n b_0 & b_{n-1} - a_{n-1} b_0 & \cdots & b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + b_0 u$$

2.2 可观测标准形 (Observable Canonical Form)

可观测标准形的结构通常是可控标准形的转置形式：

• A 矩阵：最后一列为特征系数负数。

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_1 \end{bmatrix}$$

• B 矩阵：包含 $b_i$ 与 $a_i$ 的组合项。

$$\begin{bmatrix} b_n - a_n b_0 \\ b_{n-1} - a_{n-1} b_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix}$$

• C 矩阵：

$$C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

状态方程：

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_n - a_n b_0 \\ b_{n-1} - a_{n-1} b_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix} u$$

输出方程：

$$y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n \end{bmatrix} + b_0 u$$

2.3 对角线标准形 (Diagonal Canonical Form)

当系统极点 $p_1, p_2, \dots, p_n$ 互不相同时，通过部分分式展开：

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = b_0 + \frac{c_1}{s+p_1} + \frac{c_2}{s+p_2} + \dots + \frac{c_n}{s+p_n}$$

• A 矩阵：对角阵，对角元素为特征根的负数 ($-p_i$) 。
• B 矩阵：全 1 列向量。
• C 矩阵：由留数 $c_i$ 构成的行向量。

状态矩阵：

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -p_1 & & 0 \\ & -p_2 & \\ & & \ddots \\ 0 & & -p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} u$$

输出矩阵：

$$y = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + b_0 u$$

2.4 若当标准形 (Jordan Canonical Form)

当系统存在重极点时使用。重极点使部分状态变量无法完全解耦，所以无法表达成对角线标准形，但可以表达成若当标准形。例如 $(s+p_1)$ 为三部分重根。

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = b_0 + \frac{c_1}{(s+p_1)^3} + \frac{c_2}{(s+p_1)^2} + \frac{c_3}{s+p_1} + \frac{c_4}{s+p_4} + \dots + \frac{c_n}{s+p_n}$$

• A 矩阵：形成若当块 (Jordan Block)，对角线上为特征根，上对角线为 1。

$$A = \begin{bmatrix} -p_1 & 1 & 0 \\ 0 & -p_1 & 1 \\ 0 & 0 & -p_1 \end{bmatrix} \quad (\text{对应重根部分})$$

• 其他部分与对角线标准型一致

状态方程：

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{x}_4 \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -p_1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -p_1 & 1 & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & -p_1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hdashline 0 & \cdots & 0 & -p_4 & & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & & -p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \vdots \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} u$$

输出方程

$$y = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + b_0 u$$

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3. 定常系统状态方程的解

3.1 齐次状态方程的解 ($\dot{x} = Ax$)

3.1.1 幂级数法求解

类比标量方程 $\dot{x} = ax$ 的解 $x(t) = e^{at}x(0)$，向量微分方程 $\dot{x} = Ax$ 的解为：

$$x(t) = e^{At}x(0)$$

其中 $e^{At}$ 称为矩阵指数。

3.1.2 矩阵指数 (Matrix Exponential)

• 定义：

$$e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k t^k}{k!} = I + At + \frac{A^2 t^2}{2!} + \frac{A^2 t^3}{3!} \dots$$

• 性质：
  1. $\frac{d}{dt}e^{At} = e^{At}A = A e^{At}$
  2. $e^{A(t+s)} = e^{At}e^{As}$
  3. $(e^{At})^{-1} = e^{-At}$
  4. 若 $AB=BA$，则 $e^{(A+B)t} = e^{At}e^{Bt}$；若 $AB \neq BA$，则通常不相等。

3.1.3 拉普拉斯变换法求解

对 $\dot{x} = Ax$ 进行拉氏变换：

$$sX(s) - x(0) = AX(s) \implies (sI - A)X(s) = x(0)$$

$$X(s) = (sI - A)^{-1}x(0)$$

进行反变换得到解：

$$x(t) = \mathcal{L}^{-1}[(sI - A)^{-1}]x(0) = e^{At}x(0)$$

3.1.4 状态转移矩阵 (State-Transition Matrix) $\Phi(t)$

• 定义：定义状态转移矩阵 $\Phi(t)$ 为满足齐次状态方程 $\dot{x}(t) = A x(t)$ 的解 $x(t) = \Phi(t) x(0)$ 的线性变换矩阵
  • 对于LTI系统，齐次状态方程 $\dot{x}(t) = A x(t)$ 的解可以写成 $x(t) = e^{At} x(0) = \Phi(t) x(0)$ ，故LTI系统的状态转移矩阵 $\Phi(t) = e^{At}$

等价说法：$\Phi(t)$ 是 $n \times n$ 维矩阵，并且是以下方程的唯一解

$$\begin{cases} \dot{\Phi}(t) = A \Phi(t) \\ \Phi(0) = I \end{cases}$$

• LTI系统下的解（和状态矩阵的关系）：注意仅在LTI条件下可用（我们只讨论LTI系统，但状态空间模型可用于描述LTV系统），使用Laplace 变换易得

$$\Phi(t) = e^{At} = \mathcal{L}^{-1}[(sI - A)^{-1}]$$

• 物理意义：描述了系统从初始状态 $x(0)$ 随时间的自由运动转移。（它包含系统自由运动的所有信息）
• 性质（在我们讨论的LTI系统下）：
  1. 同一性：$\Phi(0) = I$
  2. 可逆转性：$\Phi(t) = [\Phi(-t)]^{-1}, \, \Phi^{-1}(t) = \Phi(-t)$
  3. 结合律/半群性质：$\Phi(t_1 + t_2) = \Phi(t_1)\Phi(t_2) = \Phi(t_2)\Phi(t_1), \quad[\Phi(t)]^n = \Phi(nt)$
  4. 传递性：$\Phi(t_2 - t_0) = \Phi(t_2 - t_1)\Phi(t_1 - t_0) = \Phi(t_1 - t_0)\Phi(t_2 - t_1)$
• 一个好用的结论：使用同一性质易得从状态转移矩阵反解状态矩阵的方法 $\mathbf{A} = \left.\dfrac{d \Phi(t)}{dt}\right|_{t=0}$
  • 当然，如果不用这个性质，可以从特征值和特征向量的角度求出状态矩阵 $\mathbf{A}$

3.1.5 LTI 系统齐次状态方程解的特点

从系统的时域响应反解状态转移矩阵

• $n$ 阶系统至少需要 $n$ 组对应的时域零输入响应才能推导出其状态转移矩阵

把n组系统时域响应填充成矩阵形式

$$X(0) = \begin{bmatrix}x_1(0) & x_2(0) & \cdots & x_n(0)\end{bmatrix} \quad X(t) = \begin{bmatrix}x_1(t) & x_2(t) & \cdots & x_n(t)\end{bmatrix}$$

根据定义可以写出

$$X(t) = \Phi(t) X(0)$$

从而有

$$\Phi(t) = X(t) [X(0)]^{-1}$$

显然，这要求 $X(0)$ 是可逆矩阵（满秩矩阵），所以至少要有 $n$ 组对应的时域零输入响应，而且需要它们线性无关

求得状态转移矩阵后，还可以进一步用 $\mathbf{A} = \left.\dfrac{d \Phi(t)}{dt}\right|_{t=0}$ 反解状态矩阵

解的结构和特征

对于线性定常系统 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x}$，如果 $\lambda$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 是对应的特征向量，那么该系统的一个特解形式必然是：

$$\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t} \mathbf{v}$$

如果存在共轭复数特征值的情况，特征值会有形式：$\lambda = \sigma \pm j\omega$，特征向量也会变成复向量 $\mathbf{v} = \mathbf{u} \pm j\mathbf{w}$ （包含实部向量 $\mathbf{u}$ 和虚部向量 $\mathbf{w}$），特解形式会变成这样（本质上是一样的，只是我们习惯把复数化简成三角函数）：

$$\mathbf{x}(t) = e^{\sigma t} \left[ \mathbf{u} \cos(\omega t) - \mathbf{w} \sin(\omega t) \right]$$

可以通过逆向操作提取特征值和特征向量：假设看到解的形式

$$\mathbf{x}(t) = e^{\sigma t} \left( \cos(\omega t) \cdot \underbrace{\mathbf{a}}_{\text{余弦系数向量}} + \sin(\omega t) \cdot\underbrace{\mathbf{b}}_{\text{正弦系数向量}} \right)$$

我们就知道有特征值 $\lambda = \sigma \pm j \omega$ ，同时对应的特征向量为

$$\mathbf{v} = \mathbf{a} \mp j\mathbf{b}$$

通过分析解的形式，我们可以从给定的解中找出特征值和特征向量并填充到对角矩阵 $\mathbf{\Lambda}$，然后利用特征值分解定理 $\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1}$，求得特征矩阵

$$\mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0& \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \quad \mathbf{P} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{bmatrix}$$

最后使用特征值分解定理求得状态矩阵

$$\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1}$$

3.2 非齐次状态方程的解 ($\dot{x} = Ax + Bu$)

3.2.1 求解公式

通过积分因子法或拉氏变换法推导，非齐次方程的解由两部分组成：

$$x(t) = \underbrace{e^{At}x(0)}_{\text{零输入响应}} + \underbrace{\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau) d\tau}_{\text{零状态响应}}$$

若初始时刻为 $t_0$，则：

$$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau) d\tau$$

初始时刻为 0 的话，可以写成

$$x(t) = \Phi (t) x(0) + \int_0^t \Phi (t-\tau) B u(\tau) d \tau$$

3.2.2 求解实例

对于系统 $A = \begin{bmatrix} -1 & -0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0 \end{bmatrix}$，求单位阶跃响应。

1. 计算 $(sI-A)^{-1}$。
2. 求Laplace反变换得 $\Phi(t) = e^{At} = \mathcal{L}^{-1}[(sI - A)^{-1}]$ 。
3. 利用积分公式计算 $x(t) = A^{-1}(e^{At}-I)B$ （针对单位阶跃输入零状态响应的简化公式）。
   • 这公式可以作为结论记一下，下面写一下推导

$$\begin{aligned} \mathbf{x}(t) &= \underbrace{e^{At}x(0)}_{\text{零输入响应}} + \underbrace{\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau) d\tau}_{\text{零状态响应}} \\ &= e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0) + e^{\mathbf{A}t} \left[ \int_{0}^{t} e^{-\mathbf{A}\tau} d\tau \right] \mathbf{B}\mathbf{u} \end{aligned}$$

其中积分项的闭合形式的解为

$$\begin{aligned} \int_{0}^t e^{-\mathbf{A}\tau} \, d \tau &= \int_{0}^{t} (\mathbf{I} - \mathbf{A}\tau + \frac{\mathbf{A}^2\tau^2}{2!} - \cdots) d\tau \\ &= \left[ \mathbf{I}\tau - \frac{\mathbf{A}\tau^2}{2!} + \frac{\mathbf{A}^2\tau^3}{3!} - \cdots \right]_{0}^{t} \\ &= -\mathbf{A}^{-1}(e^{-\mathbf{A}t} - \mathbf{I}) \\ &= \mathbf{A}^{-1}(\mathbf{I} - e^{-\mathbf{A}t}) \end{aligned}$$

从而得到针对阶跃输入的简化公式

$$x(t) = e^{\textbf{A}t} x(0) + \textbf{A}^{-1}(e^{\textbf{A}t}-\textbf{I})\textbf{B} u$$

在初始状态为零且输入为阶跃的情况下，可以进一步化简成（阶跃输入的零状态响应）

$$x(t) = \textbf{A}^{-1}(e^{\textbf{A}t}-\textbf{I})\textbf{B} u$$

4. 最后通过 $y=Cx$ 得到输出。

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4. 可控性 (Controllability)

4.1 定义

如果存在一个无约束的控制向量 $u(t)$，能在有限时间间隔 $[t_0, t_1]$ 内，将系统从初始状态 $x(t_0)$ 转移到任一终止状态（通常指原点），则称系统在 $t_0$ 时刻是状态可控的。若对所有状态成立，则为状态完全可控。

• 可控性一般指的是状态可控性，解题时建议明确说明“状态可控”

4.2 判据 (可控性条件)

对于 $n$ 维系统 $\dot{x} = Ax + Bu$：

• 代数判据：系统状态完全可控的充要条件是 可控性矩阵 $Q_c$ 的秩为 $n$。

$$Q_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}, \, \text{rank}(Q_c) = n$$

• 推广：对于 $r$ 维输入，$Q_c$ 维度为 $n \times nr$，秩仍需为 $n$ 。
• S平面判据：传递函数 $\frac{X(s)}{U(s)}$ 中不出现零极点相消（相约现象）。如果发生相约，则被约去的模态不可控。

4.3 输出可控性

• 定义：能在有限时间内将初始输出 $y(t_0)$ 转移到任一最终输出 $y(t_1)$。
• 输出可控性与状态可控性无关，是两个独立的概念。
• 判据：矩阵 $[CB, CAB, \dots, CA^{n-1}B, D]$ 的秩为 $m$（$m$ 为输出维数）。

不可控系统：包含一种在物理上与输入量不相连接的子系统

4.4 可稳定性 (Stabilizability)

对于部分可控系统，如果其不可控模态是稳定的（特征值实部小于0），则称系统是可稳定的。

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5. 可观测性 (Observability)

5.1 定义

如果系统的每一个初始状态 $x(t_0)$ 都可以通过有限时间间隔 $[t_0, t_1]$ 内的输出观测值 $y(t)$ 唯一确定，则称系统是完全可观测的。

5.2 判据 (可观测性条件)

对于系统 $\dot{x} = Ax, y = Cx$：

• 代数判据：系统状态完全可观测的充要条件是 可观测性矩阵 $Q_o$ 的秩为 $n$。

$$Q_o = \begin{bmatrix}C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} , \, \text{rank}(Q) = n$$

或者，等价地

$$Q_o = \begin{bmatrix} C^* & A^*C^* & \dots & (A^*)^{n-1}C^* \end{bmatrix}$$

注：课件中使用 $A^*, C^*$ 表示共轭转置，对于实数矩阵即为转置 $A^T, C^T$。即需 $\text{rank}[C^T, A^TC^T, \dots] = n$。

• S平面判据：从闭环传递函数的角度，闭环传递函数中不发生零极点相消，是状态既完全可观，也完全可控的充要条件。
  • 注意，这个判据并不保证随意选择的状态变量一定既完全可观也完全可控，只是保证一定能找到一组既完全可观，也完全可控的状态变量

5.3 可检测性 (Detectability)

对于部分可观测系统，如果其不可观测模态是稳定的，则称系统是可检测的。

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6. 对偶原理 (Principle of Duality)

系统 $S_1$ ($\dot{x}=Ax+Bu, y=Cx$) 与系统 $S_2$ ($\dot{z}=A^*z+C^*v, n=B^*z$) 互为对偶系统。

$$S_1:\begin{cases} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx \end{cases} \Leftrightarrow S_2:\begin{cases} \dot{z}=A^*z+C^*v \\ n=B^*z \end{cases}$$

原理内容：

• 系统 $S_1$ 的可观性矩阵是系统 $S_1$ 的可控性矩阵
• 系统 $S_1$ 是状态完全可控的 $\iff$ 系统 $S_2$ 是状态完全可观测的。
• 系统 $S_1$ 是状态完全可观测的 $\iff$ 系统 $S_2$ 是状态完全可控的。

可检测性：对于一个局部可观测的系统，如果其不可观测的模态是稳定的，其可观测的模态是不稳定的，那么就称该系统是可检测的。

• 可检测性与可稳定性互为对偶。