Chapter12

梁的弯曲变形与位移

变形——受力构件产生的尺寸与形状的变化
位移——受力后，构件内点，线，面位置的改变
工程中梁的刚度通常不是用变形而是用横截面产生的位移来衡量
位移不仅与变形有关，还与约束有关

位移

梁的弯曲变形的度量——位移

线位移

垂直方向：挠度
水平方向：高阶微量，故忽略水平方向位移

角位移

角位移：横截面相对于原来转过的角度，以 $\theta$ $θ$ 表示，也可以过挠曲线上该点做挠曲线的切线，该切线与水平线的夹角来描述
- 符号规定：将x轴绕远点旋转90度与y轴重合，横截面角位移 $\theta$ 和它的转向相同者为正，反之则为负
- 一般来说，y轴都是相对x轴逆时针方向旋转得到，所以逆时针为正，顺时针为负

挠度

挠度：截面形心在垂直于轴线方向的线位移，以y表示。方向：y与坐标轴同向为正

挠度方程或者挠曲线方程

$y = y(x)$

数学上，切线表示弹性曲线的斜率，故转角 $\theta$ 可以使用如下方式建立

$\theta \approx \tan \theta = \dfrac{dy}{dx}$

12-2 挠曲线的近似微分方程

力学条件：挠曲线（变形后梁的轴线）的曲率方程

$\dfrac{1}{\rho (x)} = \dfrac{M(x)}{EI_z}$

数学的曲率公式

$\dfrac{1}{\rho(x)} = \dfrac{\pm \frac{d^2 y}{dx^2}}{[1+(\frac{dy}{dx})^2]^{\frac{3}{2}}}$

故可以得到

$\dfrac{\pm \frac{d^2 y}{dx^2}}{[1+(\frac{dy}{dx})^2]^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{M(x)}{EI_z}$

对于

$y_{\max} = (0.01 - 0.001) l \quad \theta_{\max} < 1^{\circ} \, or \, 0.0175 rad$

从而有

$\pm \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI_z}$

判断一下方向和符号：在我们选取的坐标系下考虑方向，发现弯矩 $M$ 与二阶导同向

从而得到挠曲线近似方程

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{M(x)}{EI_z}$

适用范围：

线弹性、小变形
y轴向上，x轴向右

12-3 用积分方法求梁的变形

积分一次，得到转角方程

$\theta(x) = \dfrac{dy}{dx} = \int_l \dfrac{M(x)}{EI_z} \, dx + C$

再积分，得到挠度方程

$y(x) = \iint_{l}\left( \frac{M(x)}{EI_z} \, dx\right) \, dx + Cx + D$

常见的边界条件

固定端 $\theta = 0, y = 0$
固定支座处 $y = 0$ 注意没有角度的约束条件哦！

光滑连续条件

一各构件上的/固定连接的分段点/交界处 $\theta_1 = \theta_2, y_1 = y_2$

可动连接（圆柱铰链）的分段点/交界处 $y_1 = y_2$ 注意没有角度的约束条件！

解题基本方法

求支座反力，画弯矩图（也可以不画）
列出梁的弯矩方程（复杂情况该分段的要分段列方程）
积分两次，得到转角方程，得到转角方程和挠度方程
- 别忘了常数 $C,D$ !
确定常数 $C,D$ $C, D$
1. 考虑边界条件
2. 分段函数的话还要考虑光滑连续条件

注意：

每一段都有两个常数， $n$ 段就有 $2n$ 个常数，就需要 $2n$ 个边界条件+光滑连续条件去确定常数

其他的一些方法

求 $y_{\max}$ 的方法：直接求导找最大值

$\theta(x) = \frac{dy}{dx} = 0$

求 $\theta_{\max}$ 的方法：也是求导找最大值

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI_z} = 0 \implies M(x) = 0$