数理方法第五章：复变函数

Chapter5 复变函数

前提知识

单连通域和多连通域

数学定义：

$\textbf{单连通域}$：设$D$是一区域，在$D$内任作一条简单闭曲线，曲线的内部总包含于$D$。

$\textbf{多连通域}$：不是单连通的区域。

简要解释：

• 单连通域：$D$内的任意闭曲线可收缩为点的区域，不存在"洞"。如：

  • 圆盘内部：$|z|<R$
  • 整个复平面：$\mathbb{C}$

• 多连通域：$D$内存在不可收缩为点的闭曲线的区域，存在"洞"。如：

  • 圆环：$r<|z|<R$
  • 挖去点的平面：$\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$

这个概念在解析函数的积分性质和共轭调和函数存在性中起关键作用。

5.1 复数

复数的集中表达形式

1. 代数表达形式

$$\mathbb{C} = \{z = x+iy | x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} \}$$

2. 几何表达形式

$$z = x+iy \leftrightarrow (x,y) := P$$

3. 向量表示形式

$$z = x+iy \leftrightarrow (x,y) := P \leftrightarrow \vec{OP}$$

4. 三角表示与指数表示

$$z = x + iy = r\cos \theta + i r \sin \theta = r (\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$$

其中

$$r = |z| , \, \theta = \text{Arg} z$$

常识：欧拉公式

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \quad (\theta \in R)$$

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证明：

首先，考虑 $e^{ix}$ 的泰勒级数展开：

$$e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots$$

将 $(ix)^n$ 展开并按奇偶次分开：

$$e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \right)$$

注意到前半部分是 $\cos x$ 的泰勒级数，后半部分是 $\sin x$ 的泰勒级数。因此，

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

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De Moivre公式

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

相关概念

模长

$$\left| z \right| = \left| \vec{OP} \right|$$

幅角

$\vec{OP}$与x轴正向夹角

$$\text{Arg} z = \theta$$

如果夹角满足$-\pi<\text{Arg} z = \theta \leq \pi$，则称为幅角主值，记为$\arg z$

并且有结论

$$x = r \cos \theta, \, y = r \sin \theta$$

复数的运算

加减乘除

加减正常人都知道，懒得写了

$$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i \\ \dfrac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 - a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2}$$

三角不等式

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \\ |z_1 - z_2| \geq \left||z_1| - |z_2|\right|$$

三角表示讨论乘除

乘法

$$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \\ z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\theta_1} r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

复数的乘法相当于两个复数的模相乘，幅角相加。

$$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| \\ \text{Arg}(z_1 z_2) = \text{Arg} z_1 + \text{Arg} z_2$$

除法

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2) \right) \\ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$$

复数的除法相当于两个复数的模相除，幅角相减。

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \\ \text{Arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{Arg} z_1 - \text{Arg} z_2$$

乘方

$$z^2 = r^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta) \quad z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$$

其实从复数角度来看更明确

$$z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$$

特别地，$r = 1$时

$$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \quad (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$$

复数的开方

如果复数$w,z$满足$w^n = z$，称$w$是$z$的$n$次方根，记作$w = \sqrt[n]{z}$

记$w = \rho e^{i \varphi}, z = re^{i\theta}$，则$\rho^n e^{in\varphi} = re^{i\theta}$

1. 复数相等，模，辐角相等

   $$\rho^n = r, n\varphi = \theta \implies \rho = \sqrt[n]{r}, \varphi = \frac{\theta}{n}$$

2. 辐角

   $$\varphi = \frac{\theta}{n} = \frac{\theta_0 + 2k\pi}{n} ,k\in \mathbb{Z}$$

   其中$\theta_0$是z的辐角中的一个元素

   又因为相差$2\pi$的整数倍的辐角对应的是同一个复数，故只有n个不同的复数

   $$\varphi = \frac{\theta_0}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots n-1$$

结论：

$$w = \sqrt[n]{|z|} e^{\frac{\theta_0 + 2k\pi}{n}}, k=0,1,\cdots n-1$$

$\theta_0$是z的辐角中一个元素

共轭

$$\overline{z} = x - iy \\ z\overline{z} = |z|^2 \iff \dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$$

显然

$$|z| = |\overline{z}| \quad \text{Arg} \overline{z} = - \text{Arg} z$$

共轭还有以下性质

$$\text{Re} z = \dfrac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{Im} z = \dfrac{z - \overline{z}}{2i} \\ \overline{\overline{z}} = z \quad \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \\ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \overline{z_2} \quad \overline{\frac{z_1}{z_2}} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(\overline{z_2} \neq 0)$$

注意，如果z不是实数，那么

$$z^2 \neq |z|^2$$

5.2 复变函数的基本概念

点集，邻域，内点，外点，边界点，有界集

区域与简单曲线

$z_0$的邻域

$$N(z,\epsilon) = \{z \in \mathbb{C} | \left| z - z_0 \right| < \epsilon\}$$

内点：存在$N(z,\epsilon) \subseteq \Omega$

外点：$N(z_0,\epsilon) \cap \Omega = \emptyset$

区域的定义，简单曲线的定义，简单闭曲线的定义

复变函数

$$w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$$

如果一个z有唯一w与之对应，称为单值函数

如果一个z有多个w与之对应，称为多值函数

复变函数极限的定义

$A \in \mathbb{C}, \forall \epsilon > 0, \exist \delta > 0$，当$0 < |z - z_0| < \delta$时，$|f(z) - A| < \epsilon$，记为

$$\lim_{z \to z_0} f(z) = A$$

极限存在意味着在复平面上沿任一方向，任意路径，任意方式，取$z \to z_0$时函数的极限存在且相等

注1：

判断极限$\lim_{z \to z_0} f(z)$不存在：

1. 沿着某条特殊路径$z \to z_0$时，$\lim_{z \to z_0} f(z)$极限不存在
2. 沿着两条特殊路径$z \to z_0$时，$\lim_{z \to z_0}(z\in C_1) f(z) \neq \lim_{z \to z_0}(z\in C_2) f(z)$

定理5.1 判断极限$\lim_{z \to z_0} f(z)$存在：

$$w = f(z) = u+iv \\ \lim_{z \to z_0} f(z) = A \iff \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = u_0,\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = v_0$$

复变函数连续

定义：如果函数$w = f(z)$在点$z_0$的某邻域内有定义，若$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$，称函数$w = f(z)$在点$z_0$处连续，点$z_0$称$w = f(z)$的连续点

若$w = f(z)$在区域D内处处连续，则称$w = f(z)$在区域D内处处连续

连续：

1. $w=f(z)$的极限$\lim_{z \to z_0} f(z) = A$存在
2. 必须满足$A = f(z_0)$

定理5.2 设$w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$在$z = x_0 + i y_0$处连续的充要条件为

$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = u(x_0,y_0) \, \text{and} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = v(x_0,y_0)$$

函数连续的性质

定理 5.3 连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数。

特别地，符合以下形式的是连续函数

• 多项式

  $$w = P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n$$

• 有理分式

  $$\frac{P(z)}{Q(z)}$$

  （其中 $P(z), Q(z)$ 都是多项式）在复平面分母不为 0 的点。

5.3 解析函数的概念及性质

可导可微的定义

设函数 $w = f(z)$ 在点 $z_0$ 的邻域内有定义，若极限

$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

存在，则称函数 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，此极限值为 $w = f(z)$ 在点 $z_0$ 处的导数，并记为

$$f'(z_0), \quad \text{或 } \frac{df}{dz}\bigg|_{z = z_0}, \quad \frac{dw}{dz}\bigg|_{z = z_0}$$

即

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}.$$

如果函数在区域 $D$ 内处处可导，称函数在 $D$ 内可导。

1. 一元函数只要左右极限存在相等函数就（连续）可导，但复变函数极限与 $\Delta z \to 0$ 的路径和方式都有关系，条件更苛刻。
2. 一元函数导数表示函数在该点的“变化率”，复变函数的导数仍是复数，不能表示变化快慢，其几何意义也不是斜率。

复变函数求导计算

幂函数求导基本公式，四则运算，链式法则都是和实变函数一样的

反函数求导公式也和实变函数一样，不过前提条件要求是单值函数

可导的必要条件

定理5.4 函数$w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$在区域D内点$z = x+iy$处可导，则$u(x,y),v(x,y)$的一阶偏导数存在且满足Cauchy-Riemann条件

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$$

且 $w = f(z)$ 的导数为

$$f'(z) = \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$$

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证明：

1. 由复变函数可导的定义，存在极限:

$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$

2. 令 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，则:

$$f(z+\Delta z) - f(z) = [u(x+\Delta x,y+ \Delta y) - u(x,y)] + i[v(x+\Delta x,y+\Delta y) - v(x,y)]$$

3. 分别考虑 $\Delta z = \Delta x$ 和 $\Delta z = i\Delta y$ 的情况:

   • 当 $\Delta z = \Delta x$ 时:

   $$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x+\Delta x,y) - u(x,y)] + i[v(x+\Delta x,y) - v(x,y)]}{\Delta x} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

   • 当 $\Delta z = i\Delta y$ 时:

   $$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{[u(x,y+\Delta y) - u(x,y)] + i[v(x,y+\Delta y) - v(x,y)]}{i\Delta y} = \frac{1}{i}(\frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y})$$

4. 由于导数值相等，得到:

$$\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{i}(\frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y})$$

5. 比较实部和虚部:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

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可导的充要条件

定理5.5 函数 $w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内一点 $z = x + iy$ 处可导的充要条件为：$u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，并且在该点处满足 C-R 条件。

证明过程大致如下：

必要性证明：

假设 $f(z)$ 在点 $z$ 处可导，记 $\Delta f(z) = \Delta u + i\Delta v$，$f'(z) = \alpha + i\beta$。

1. 由可导定义：

   $$\Delta f(z) = f'(z)\Delta z + \varepsilon \Delta z$$

   其中 $\lim_{\Delta z \to 0} \varepsilon = 0$。

2. 展开右式：

   $$\Delta u + i\Delta v = (\alpha + i\beta)(\Delta x + i\Delta y) + (\varepsilon_1 + i\varepsilon_2)(\Delta x + i\Delta y)$$

3. 比较实部和虚部：

   $$\Delta u = \alpha\Delta x - \beta\Delta y + \varepsilon_1\Delta x - \varepsilon_2\Delta y \\ \Delta v = \beta\Delta x + \alpha\Delta y + \varepsilon_2\Delta x + \varepsilon_1\Delta y$$

4. 这表明 $u(x, y)$、$v(x, y)$ 可微，且满足 C-R 条件：

   $$\frac{\partial u}{\partial x} = \alpha = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\beta = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

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充分性证明：

假设 $u(x, y)$、$v(x, y)$ 可微，且满足 C-R 条件。

1. 由可微性：

   $$\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + \varepsilon_1 \\ \Delta v = \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y + \varepsilon_2$$

   其中 $\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$ 是 $\rho(\Delta x, \Delta y) = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 的高阶无穷小。

2. 利用 C-R 条件：

   $$\alpha = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad -\beta = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$$

3. 得到：

   $$\Delta f = \Delta u + i\Delta v = (\alpha + i\beta)(\Delta x + i\Delta y) + (\varepsilon_1 + i\varepsilon_2)$$

4. 因此：

   $$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta z} = \alpha + i\beta$$

这表明 $f(z)$ 在该点可导，且导数为 $f'(z) = \alpha + i\beta$。证毕。

可导的充分条件

在高数中学过二元函数一阶偏导数连续则必可微，所以易得下面的结论

定理5.6 如果 $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处一阶偏导数连续，且在该点处满足C-R条件，则 $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内一点 $z=x+iy$ 处可导。

5.4 解析函数

5.4.1 解析函数的定义

定义5.2 函数 $f(z)$ 在$z_0$及$z_0$某个邻域内处处可导，称 $f(z)$ 在$z_0$处解析，如果$f(z)$ 在区域 $D$ 内每个点解析，称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析(全纯函数)

注1. 函数 $f(z)$ 在$z_0$处不解析，称$z_0$为 $f(z)$ 的奇点。

注2. 函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析等价于函数在区域$D$ 内可导。（区域内解析与可导等价）

解析函数的性质

定理5.7 区域$D$内两个解析函数$f(z), g(z)$的和、差、积、商(分母不为0)在$D$内解析。设函数$\xi = g(z)$在$z$平面上的区域$D$内解析，函数$w = f(\xi)$在$\xi$平面上的区域$G$内解析，如果对$D$内的每一点$z$，对应值$\xi = g(z)$都属于$G$，则复合函数$w = f[g(z)]$在$D$内解析。

特别：

• 多项式 $P(z) = a_0 + a_1z + ... a_nz^n$
• 有理分式 $\frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{a_0+a_1z+... a_nz^n}{b_0+b_1z+... b_mz^m}(a_n, b_m \neq 0)$ 在 $Q(z) \neq 0$的点解析，
  • $Q(z) = 0$的点就是这个函数的奇点。

5.4.3 解析函数的充要条件

定理5.8 函数$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$在区域$D$内解析的充要条件是：$u(x, y)$ 与 $v(x, y)$ 在$D$内具有连续的一阶偏导数，且满足C-R条件。

例11 设函数$f(z) = u + iv$在区域$D$内解析，且$u = v^2$，证明$f(z)$为常数

解：因为$f(z)$在区域$D$内解析，满足C-R条件：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

因为$u = v^2$，所以：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2v\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = 2v\frac{\partial v}{\partial y}$$

将这两个式子代入C-R条件：

$$2v\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ 2v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

由第一式得：$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{2v}\frac{\partial v}{\partial y}$，代入第二式：$2v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{2v}\frac{\partial v}{\partial y}$

化简得：$4v^2\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial y}$，即：$(4v^2 + 1)\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

因为$4v^2 + 1 > 0$，所以$\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

代入前面推出的结论，可知$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

因此$v$为常数，又因为$u = v^2$，所以$u$也为常数，所以$f(z) = u + iv$为常数。

例12 判断函数的可导性和解析性 (1) $f(z) = zRez$ (2) $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)$

(1) $f(z) = zRez$
令$z = x + yi$，则$Rez = x$，所以$f(z) = (x + yi)x = x^2 + xyi$，所以$u = x^2$，$v = xy$

检验C-R条件：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y} = x \\ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 = - \frac{\partial v}{\partial y} = -y$$

因此该函数在$z=0$处可导，$z \neq 0$处不可导，处处不解析。

(2) $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y$

所以$u = e^x\cos y$，$v = e^x\sin y$

检验C-R条件：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial v}{\partial y} = e^x\cos y \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x} = -e^x\sin y$$

满足C-R条件，且偏导数连续，因此该函数在全平面上解析。

知识补充：复变指数函数的定义

$$f(z) = e^x(\cos y + i\sin y) = e^{x+iy} \overset{\text{def}}{=} e^z$$

很容易发现复变的时候以下求导性质仍然成立

$$\left(e^z\right)' = e^z$$

例13 设$a,b$为实数，函数$f(z) = axy + i(bx^2 + y^2)$解析，求$a,b$。

解：令$u = axy$，$v = bx^2 + y^2$

根据C-R条件：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = ay = \frac{\partial v}{\partial y} = 2y \\ \frac{\partial u}{\partial y} = ax = -\frac{\partial v}{\partial x} = -2bx$$

由第一个等式得：$a = 2$
由第二个等式得：$ax = -2bx$，即$2x = -2bx$，所以$b = -1$

因此$a = 2$，$b = -1$。

调和函数与解析函数构造

调和函数的定义

$u(x,y)$为区域$D$内的调和函数，如果$u(x,y)$在$D$内具有连续的二阶偏导数，且满足：

$$\nabla^2u = \Delta u = \frac{\partial^2}{\partial x^2}u + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u = 0$$

**定理5.9：**解析函数的实部和虚部均是调和函数。

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证明：

设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是解析函数，根据柯西-黎曼方程：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

对第一个方程对x求偏导，第二个方程对y求偏导：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}$$

将两式相加：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

这表明实部$u$是调和的。同理可证虚部$v$也是调和的。

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解析函数的构造

问题：若$u$或$v$是调和函数，是否存在解析函数$w=f(z)$，使得：$\text{Re }w=u \text{ [或 Im }w=v\text{]}$？

共轭调和函数定义

$u,v$是区域$D$内的调和函数，满足C-R条件，称$v$为$u$的共轭调和函数。

• 注意：共轭调和函数是单向的，正向成立不代表反过来也成立！因为C-R条件没对称性

转化：此问题等价于求函数$v$，使其为$u$的共轭调和函数。

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定理 5.10
若 $u(x,y)$ 是单连通区域 $D$ 内的调和函数，则必可以找到它的共轭调和函数 $v(x,y)$，使得 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为 $D$ 内的解析函数，而且这样的函数有无穷多个。

证明:
由于 $u(x,y)$ 为调和函数，即

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x})-\frac{\partial}{\partial y}(-\frac{\partial u}{\partial y})=0$$

由C-R条件， $-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy$ 为要找的这个函数的全微分。设为 $dv(x,y)=-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy$，则有：

$$v(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy+C$$

能满足 C-R 条件，因此 $f(z)=u+iv$ 为解析函数。

注：这里需要证明积分与路径无关，过程如下

要证明此处的积分与路径无关，只需证明被积区域内的曲线积分值为0。使用Green公式：

$$\oint_{C} P dx + Q dy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$$

在这里，$P = -\frac{\partial u}{\partial y}$，$Q = \frac{\partial u}{\partial x}$。
代入后得：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - (-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

最后一步等于0是因为$u(x,y)$是调和函数。因此曲线积分与路径无关。

例15：设函数 $f(z)=u+iv$ 解析，且 $u=x^2-x-y^2$。求 $f(z)$

注意：标准步骤里面应该先验证一下 $u$ 是调和函数，考试可能要算分的！这边偷懒不写了

已知：$\frac{\partial u}{\partial x}=2x-1$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y$

法1：曲线积分法

$$v(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy$$

选积分路径为 $(0,0)\to(x,0)\to(x,y)$

$$v(x,y)=\int_0^y(2x-1)dy+C=2xy-y+C$$

$$f(z)=x^2+2xyi-y^2-(x+iy)+iC=z^2-z+iC$$

（其中 $C$ 为实数）

法2：微分法

$$dv=-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy=2ydx+(2x-1)dy=d(2xy-y)$$

所以 $v=2xy-y+C$

法3：偏积分法

由C-R条件：

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=2y \\ \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x-1$$

由第一式得 $v(x,y)=2xy+\varphi(y)$

代入后面式得

$$2x+\varphi'(y)=2x-1 \implies \varphi'(y)=-1 \implies \varphi(y)=-y+C$$

于是 $v(x,y)=2xy-y+C$

法4：求导法
由 $f(z)=u+iv$ 解析，则

$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}=(2x-1)+2yi=2z-1$$

于是 $f(z)=z^2-z+(A+iC)$，要使 $Ref(z)=u$，则 $A=0$

所以 $f(z)=z^2-z+iC$ （$C$为实数）

四种求解共轭调和函数的方法

曲线积分法：

• 利用全微分公式构造积分
• 选取合适的积分路径（通常从原点出发）
• 计算路径积分得到 $v(x,y)$

微分法：

• 直接写出全微分方程，进行观察
• 通过凑全微分的方式，找出原函数 $v(x,y)$

偏积分法（部分积分法）：

• 利用 C-R 条件建立偏微分方程组
• 从一元函数积分的角度出发，选取一个自变量看作积分变量，另一个自变量看作常数（建议选择C-R条件中形式较为简单的那部分作为积分用的式子）
• 对C-R条件中的式子进行含参一元积分
• 通过代入C-R条件中的另一个式子确定那个看作常数的自变量的部分的形式

求导法：

• 利用解析函数的导数公式
• 对复变函数直接进行"积分"得到原函数
• 结合实部已知条件确定常数项

这些方法各有特点，可以根据具体问题选择最便捷的方法。

• 最基本的方法：曲线积分法
• 简单问题，微分形式明显时用微分法
• 方程简单时用偏积分法（部分积分法）
• 求导法不太常用（导数容易处理时可以考虑）

例16：设 $f(z)=u+iv$ 在区域 D 内解析，且已知 $u-v=e^x(\sin y-\cos y)$

解：

1. 由已知条件 $u-v=e^x(\sin y-\cos y)$，我们要用 C-R 条件来求解。

2. C-R 条件为：

   $$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$$

3. 对 $u-v=e^x(\sin y-\cos y)$ 求偏导：

   $$\frac{\partial}{\partial x}(u-v) = e^x(\sin y-\cos y)$$

   $$\frac{\partial}{\partial y}(u-v) = e^x(\cos y+\sin y)$$

4. 也就是：

   $$\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial x} = e^x(\sin y-\cos y) \tag{1}$$

   $$\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial y} = e^x(\cos y+\sin y) \tag{2}$$

5. 由 C-R 条件代入：

   $$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = e^x(\sin y-\cos y) \tag{3}$$

   $$\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x} = e^x(\cos y+\sin y) \tag{4}$$

6. 将 (3) + (4)：

   $$2\frac{\partial u}{\partial y} = e^x(\sin y-\cos y + \cos y+\sin y) = 2e^x\sin y$$

   将 (3) - (4)：

   $$2\frac{\partial u}{\partial x} = e^x(\sin y-\cos y - \cos y-\sin y) = -2e^x\cos y$$

7. 所以：

   $$\frac{\partial u}{\partial y} = e^x\sin y$$

   并且：

   $$\frac{\partial u}{\partial x} = -e^x\cos y$$

8. $$u(x,y) = \int u_x dx = - \int e^x\cos y \, dx + C(y) = - e^x \cos y + C(y)$$

   然后代入C-R条件中另一个式子

   $$u_y = e^{x} \sin y + C'(y) = e^x \sin y$$

   从而得到

   $$C'(y) = 0 \implies C(y) = C$$

9. 带入题目所给条件，易得

   $$v = -e^x \sin y + C$$

10. 最后得到结果

    $$f(z) = u + iv = -e^x (\cos y + i \sin y) + C(1+i) \\ = -e^z + C(1+i)$$

简单解析函数

指数函数

$$e^z = e^x(\cos y + i\sin y), \text{ 其中 } z = x + yi$$

主要性质:

1. 指数运算法则: $$e^{z_1+z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$$
2. 导数: $$(e^z)’ = \frac{\partial u}{\partial x} - i\frac{\partial u}{\partial y} = e^x(\cos y + i\sin y) = e^z$$
3. 周期性: $$e^{2k\pi i} = 1, \text{ 即 } e^z \text{ 是以 } 2\pi i \text{ 为基本周期的周期函数}$$
4. 特别注意: $$(e^{z_1})^{z_2} \neq e^{z_1z_2}$$

对数函数

对数函数的定义与性质：

$$w = Lnz = \ln|z| + iArgz, \text{ 其中 } z \neq 0, \infty$$

1. 定义关系：$$e^w = z \iff w = Lnz$$

2. 极坐标形式：对于 $z = re^{i\theta}, w = u + iv$：

   $$e^u = r, \quad v = \theta$$

3. 分支特性：

   • 每个分支定义域：$(2k-1)\pi < Argz \leq (2k+1)\pi$，$k$ 为固定整数
   • 主值分支（$k=0$）：$w = \ln|z| + i\, \text{arg}z$

4. 对数函数是个多值函数

对数主值函数

对于复变对数函数，主值对数函数（记为 $lnz$）定义为：

$$lnz = \ln|z| + i\,argz \quad -\pi < argz \leq \pi$$

注：

1. $lnz$ 是单值函数
2. $argz$ 是辐角主值，满足 $-\pi < argz \leq \pi$
3. 主值分支对应于 $k=0$ 的情况
4. 定义域为复平面除去原点
5. 解析区域为复平面除去负实轴和原点

两个重要性质

1. 对于 $z_1 \neq 0, z_2 \neq 0$，对数函数满足：

   $$Ln(z_1z_2) = Ln(z_1) + Ln(z_2)\\ Ln\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = Ln(z_1) - Ln(z_2)$$

2. 在单值分支内解析（解析区域为复平面除去负实轴和原点），对数函数的导数：

   $$(Lnz)' = \frac{1}{z}$$

   其中 $z$ 不等于 0

指数函数和幂函数

复变函数中的指数幂函数定义：

1. 当底数为正实数时：

$$\zeta^z = e^{zln\zeta}, \quad \zeta > 0$$

2. 一般幂函数（多值函数）：

$$z^a = e^{aLnz}$$

3. 导数（在单值分支内）：

$$(z^a)' = e^{aLnz} \cdot a \cdot \frac{1}{z} = az^{a-1}$$

特别注意：

• $z^a$ 是多值函数
• 导数公式仅在单值分支内成立

三角函数与双曲函数

定义

复变函数的三角函数和双曲函数可以通过指数形式定义如下：

1. 三角函数：

   $$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}.$$

2. 双曲函数：

   $$\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}.$$

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性质

1. 零点：

   • $\sin z = 0$ 当且仅当 $z = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$；
   • $\cos z = 0$ 当且仅当 $z = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$。

2. 模的性质：

   1. $\lvert \sin z \rvert$ 和 $\lvert \cos z \rvert$ 是无界函数。

3. 导数公式：

   • $(\sin z)' = \cos z$；
   • $(\cos z)' = -\sin z$。

4. 三角恒等式：

   $$\sin^2 z + \cos^2 z = 1.$$

5. 与双曲函数的关系：

   • $\sin(iz) = i\sinh(z)$；
   • $\cos(iz) = \cosh(z)$。

相关推导

复变三角函数的模

(1) $\sin z$ 的模：

$$\lvert \sin z \rvert = \left\lvert \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \right\rvert = \frac{1}{2} \lvert e^{iz} - e^{-iz} \rvert.$$

进一步分解：

$$e^{iz} - e^{-iz} = e^{-y}(\cos x + i\sin x) - e^y(\cos x - i\sin x),$$

模的大小为：

$$\lvert \sin z \rvert = \frac{1}{2} \sqrt{(e^{-y} - e^y)^2 (\cos^2 x + \sin^2 x)} = \frac{1}{2} \lvert e^y - e^{-y} \rvert.$$

• 当 $y \to +\infty$ 时，$e^y - e^{-y} \approx e^y$，因此 $\lvert \sin z \rvert \to \infty$。
• 当 $y \to -\infty$ 时，$e^{-y} - e^y \approx e^{-y}$，因此 $\lvert \sin z \rvert \to \infty$。

(2) $\cos z$ 的模：
类似的计算可以得到：

$$\lvert \cos z \rvert = \frac{1}{2} \lvert e^y + e^{-y} \rvert.$$

• 当 $y \to \pm \infty$ 时，$\lvert \cos z \rvert \to \infty$。