Rookie's blog

特征方程法

特征多项式法 (Characteristic Polynomial Method)

1. 核心思想

特征多项式法是一种强大的数学工具，其核心目标是求解一类特定的微分方程：线性、齐次、常系数的常微分方程 (Linear, Homogeneous, Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients)。

在控制系统和信号处理领域，这个方法至关重要，因为它求解出的齐次解，正对应着一个系统的零输入响应 (Zero-Input Response) 或自然响应 (Natural Response)。这个响应揭示了系统固有的、不依赖于外部输入的动态特性（如稳定性、振荡频率等）。

2. 适用对象

该方法专门用于求解形如下式的微分方程：

andny(t)dtn+an−1dn−1y(t)dtn−1+⋯+a1dy(t)dt+a0y(t)=0a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = 0

其中：

  • y(t)y(t) 是待求的函数（系统输出）。
  • an,an−1,…,a0a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 是常数（系统的参数）。
  • 方程等号右边为零（齐次方程，代表没有外部输入）。

3. 求解步骤 (Step-by-Step)

整个过程可以归结为将一个微积分问题（解微分方程）转化为一个代数问题（解多项式方程）。

Step 1: 构造特征方程 (Construct the Characteristic Equation)

这是最关键的一步。我们猜想该微分方程的解具有指数形式 y(t)=erty(t) = e^{rt}，因为指数函数有一个优美的性质：它的任意阶导数都等于其自身乘以一个常数。

  • 将 y(t)=erty(t) = e^{rt} 代入微分方程。
  • y′(t)=rerty'(t) = re^{rt}
  • y′′(t)=r2erty''(t) = r^2e^{rt}
  • …
  • y(n)(t)=rnerty^{(n)}(t) = r^ne^{rt}

代入后得到：

anrnert+an−1rn−1ert+⋯+a1rert+a0ert=0a_n r^n e^{rt} + a_{n-1} r^{n-1} e^{rt} + \dots + a_1 r e^{rt} + a_0 e^{rt} = 0

由于 erte^{rt} 永远不为零，我们可以将其从等式两边约去，剩下的就是一个关于变量 r 的代数方程，即特征方程：

anrn+an−1rn−1+⋯+a1r+a0=0a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0

等号左边的多项式 P(r)=anrn+⋯+a0P(r) = a_n r^n + \dots + a_0 就是特征多项式。

Step 2: 求解特征根 (Solve for the Characteristic Roots)

解这个代数方程，求出所有的根 r1,r2,…,rnr_1, r_2, \dots, r_n。这些根被称为特征根 (Characteristic Roots) 或特征值 (Eigenvalues)，它们完全决定了系统响应的形态。

Step 3: 根据根的形式写出通解 (Write the General Solution)

根据特征根的不同情况，通解（即零输入响应 yZIR(t)y_{ZIR}(t)）的形式也不同。主要有以下三种情况：

根的情况 (Case of Roots) 示例 (Example) 通解形式 (Form of General Solution)
1. 不相等的实数根
(Distinct Real Roots)		 r1,r2r_1, r_2 y(t)=C1er1t+C2er2ty(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}
2. 有重复的实数根
(Repeated Real Roots)		 r1=r2=rr_1 = r_2 = r (二重根) y(t)=(C1+C2t)erty(t) = (C_1 + C_2t)e^{rt}
注：每增加一重根，就多乘以一个t
3. 共轭复数根
(Complex Conjugate Roots)		 r=α±jβr = \alpha \pm j\beta y(t)=eαt(C1cos⁡(βt)+C2sin⁡(βt))y(t) = e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t))
这是由欧拉公式 ejθ=cos⁡θ+jsin⁡θe^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta 推导而来

Step 4: 利用初始条件确定常数 (Use Initial Conditions)

上面得到的通解中含有待定常数 C1,C2,…C_1, C_2, \dots。为了得到一个唯一的特解，我们需要利用系统的初始条件（如 y(0),y′(0)y(0), y'(0) 等）来求解这些常数。

4. 实例演示

问题：求解微分方程 y′′+2y′+5y=0y'' + 2y' + 5y = 0，初始条件为 y(0)=1y(0) = 1，y′(0)=1y'(0) = 1。

  1. 构造特征方程:
    r2+2r+5=0r^2 + 2r + 5 = 0

  2. 求解特征根:
    使用二次方程求根公式 r=−b±b2−4ac2ar = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}：
    r=−2±22−4(1)(5)2=−2±−162=−2±4j2r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4j}{2}
    得到一对共轭复数根: r=−1±2jr = -1 \pm 2j。
    这里，α=−1\alpha = -1 且 β=2\beta = 2。

  3. 写出通解:
    根据复数根的规则，通解形式为：
    y(t)=e−t(C1cos⁡(2t)+C2sin⁡(2t))y(t) = e^{-t}(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t))

  4. 利用初始条件定解:

    • 使用 y(0)=1y(0) = 1:
      y(0)=e−0(C1cos⁡(0)+C2sin⁡(0))=1⋅(C1⋅1+C2⋅0)=C1y(0) = e^{-0}(C_1\cos(0) + C_2\sin(0)) = 1 \cdot (C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) = C_1
      所以，C1=1C_1 = 1。

    • 使用 y′(0)=1y'(0) = 1:
      首先需要求 y(t)y(t) 的导数 y′(t)y'(t) (使用乘法法则和链式法则)：
      y′(t)=−e−t(C1cos⁡(2t)+C2sin⁡(2t))+e−t(−2C1sin⁡(2t)+2C2cos⁡(2t))y'(t) = -e^{-t}(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)) + e^{-t}(-2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t))
      代入 t=0t=0:
      y′(0)=−e0(C1cos⁡(0)+C2sin⁡(0))+e0(−2C1sin⁡(0)+2C2cos⁡(0))y'(0) = -e^0(C_1\cos(0) + C_2\sin(0)) + e^0(-2C_1\sin(0) + 2C_2\cos(0))
      y′(0)=−(C1)+(2C2)=−C1+2C2y'(0) = -(C_1) + (2C_2) = -C_1 + 2C_2
      我们已知 y′(0)=1y'(0)=1 和 C1=1C_1=1，所以：
      1=−1+2C2  ⟹  2C2=2  ⟹  C2=11 = -1 + 2C_2 \implies 2C_2 = 2 \implies C_2 = 1。

  5. 最终解:
    将 C1=1C_1=1 和 C2=1C_2=1 代回通解，得到唯一的特解：

    y(t)=e−t(cos⁡(2t)+sin⁡(2t))y(t) = e^{-t}(\cos(2t) + \sin(2t))

    这个解描述了一个初始值为1、初始速度为1的阻尼振荡系统的衰减过程。

5. 特征根的物理意义

特征根 r=α+jβr = \alpha + j\beta 不仅仅是数学符号，它深刻地揭示了系统的内在行为：

  • 实部 α\alpha：决定了系统响应的增长或衰减率。

    • α<0\alpha < 0：响应随时间指数衰减 (系统稳定)。
    • α>0\alpha > 0：响应随时间指数增长 (系统不稳定)。
    • α=0\alpha = 0：响应不衰减也不增长 (临界稳定，如持续振荡)。

  • 虚部 β\beta：决定了系统响应是否振荡。

    • β≠0\beta \neq 0：响应中含有振荡分量，振荡角频率为 β\beta。
    • β=0\beta = 0：响应没有振荡 (纯指数形式)。
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