Rookie's blog

PFE Method

部分分式展开的基本原理

假设我们有一个有理函数 F(s)F(s) （对于连续时间系统，使用拉普拉斯变换变量 ss）或 F(z)F(z) （对于离散时间系统，使用 Z 变换变量 zz）：

F(s)=N(s)D(s)F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}

其中 N(s)N(s) 是分子多项式，D(s)D(s) 是分母多项式。

  • 进行部分分式展开的前提条件是：分子的阶数必须严格小于分母的阶数。

  • 如果分子的阶数大于或等于分母的阶数，则需要先进行多项式长除法，得到一个多项式和一个新的、满足前提条件的真分式。

展开的形式取决于分母 D(s)D(s) 的根（即极点）的性质。

不同情况下的展开方法

情况一：分母具有互异实根 (Distinct Real Roots)

如果分母 D(s)D(s) 可以分解为 (s−p1)(s−p2)...(s−pn)(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)，其中 p1,p2,...,pnp_1, p_2, ..., p_n 是互不相同的实数，则 F(s)F(s) 可以展开为：

F(s)=A1s−p1+A2s−p2+...+Ans−pnF(s) = \frac{A_1}{s-p_1} + \frac{A_2}{s-p_2} + ... + \frac{A_n}{s-p_n}

其中 AkA_k 是待定系数。计算系数 AkA_k 的常用方法是留数法 (Residue Method)：

Ak=lim⁡s→pk[(s−pk)F(s)]A_k = \lim_{s \to p_k} [(s-p_k) F(s)]

简单来说，就是将 F(s)F(s) 中与 AkA_k 对应的分母项 (s−pk)(s-p_k) 去掉，然后将 s=pks=p_k 代入余下的表达式。

情况二：分母具有重实根 (Repeated Real Roots)

如果分母 D(s)D(s) 包含一个 mm 阶的重实根 (s−p)m(s-p)^m，则对应的展开项为：

A1s−p+A2(s−p)2+...+Am(s−p)m\frac{A_1}{s-p} + \frac{A_2}{(s-p)^2} + ... + \frac{A_m}{(s-p)^m}

计算这些系数的方法略有不同：

Am=lim⁡s→p[(s−p)mF(s)]A_m = \lim_{s \to p} [(s-p)^m F(s)]
Am−1=lim⁡s→pdds[(s−p)mF(s)]A_{m-1} = \lim_{s \to p} \frac{d}{ds} [(s-p)^m F(s)]
Am−2=12!lim⁡s→pd2ds2[(s−p)mF(s)]A_{m-2} = \frac{1}{2!} \lim_{s \to p} \frac{d^2}{ds^2} [(s-p)^m F(s)]
…
Am−k=1k!lim⁡s→pdkdsk[(s−p)mF(s)]A_{m-k} = \frac{1}{k!} \lim_{s \to p} \frac{d^k}{ds^k} [(s-p)^m F(s)]

其中 k=0,1,...,m−1k = 0, 1, ..., m-1。注意，对于最高阶项 AmA_m 的系数，计算方法与互异实根类似。对于较低阶项的系数，则需要对 (s−p)mF(s)(s-p)^m F(s) 求导。

情况三：分母具有互异复共轭根 (Distinct Complex Conjugate Roots)

如果分母 D(s)D(s) 包含一对互异的复共轭根 p=α+jβp = \alpha + j\beta 和 p∗=α−jβp^* = \alpha - j\beta，即因子 (s−(α+jβ))(s−(α−jβ))=(s−α)2+β2(s - (\alpha + j\beta))(s - (\alpha - j\beta)) = (s-\alpha)^2 + \beta^2，则对应的展开项通常写为：

As+B(s−α)2+β2\frac{As + B}{(s-\alpha)^2 + \beta^2}

或

Ks−(α+jβ)+K∗s−(α−jβ)\frac{K}{s - (\alpha + j\beta)} + \frac{K^*}{s - (\alpha - j\beta)}

  • 使用第一种形式：系数 A 和 B 可以通过通分后比较分子系数，或者代入特定的 ss 值（例如 s=0,s=αs=0, s=\alpha）来求解。
  • 使用第二种形式：系数 KK 和 K∗K^* 是共轭的。KK 可以用留数法计算：

    K=lim⁡s→α+jβ[(s−(α+jβ))F(s)]K = \lim_{s \to \alpha + j\beta} [(s - (\alpha + j\beta)) F(s)]

    然后 K∗K^* 就是 KK 的共轭。这种形式在进行逆变换时，可以方便地组合成正弦或余弦乘以指数的形式。例如：

    L−1{Ks−(α+jβ)+K∗s−(α−jβ)}=2∣K∣eαtcos⁡(βt+∠K)u(t)\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{K}{s - (\alpha + j\beta)} + \frac{K^*}{s - (\alpha - j\beta)} \right\} = 2|K|e^{\alpha t} \cos(\beta t + \angle K) u(t)

情况四：分母具有重复共轭根 (Repeated Complex Conjugate Roots)

这种情况比较复杂，处理方法类似于重实根和复共轭根的结合，但计算量较大，在基础课程中不常作为重点。喜欢复变函数么（

应用示例

示例 1：互异实根

假设有函数：
F(s)=s+5(s+1)(s+2)F(s) = \frac{s+5}{(s+1)(s+2)}

分母有两个互异实根 p1=−1p_1 = -1 和 p2=−2p_2 = -2。我们可以将其展开为：
F(s)=A1s+1+A2s+2F(s) = \frac{A_1}{s+1} + \frac{A_2}{s+2}

计算系数：
A1=lim⁡s→−1[(s+1)F(s)]=lim⁡s→−1s+5s+2=−1+5−1+2=41=4A_1 = \lim_{s \to -1} [(s+1) F(s)] = \lim_{s \to -1} \frac{s+5}{s+2} = \frac{-1+5}{-1+2} = \frac{4}{1} = 4

A2=lim⁡s→−2[(s+2)F(s)]=lim⁡s→−2s+5s+1=−2+5−2+1=3−1=−3A_2 = \lim_{s \to -2} [(s+2) F(s)] = \lim_{s \to -2} \frac{s+5}{s+1} = \frac{-2+5}{-2+1} = \frac{3}{-1} = -3

所以：
F(s)=4s+1−3s+2F(s) = \frac{4}{s+1} - \frac{3}{s+2}

如果我们要求其拉普拉斯逆变换 f(t)f(t)，则：
f(t)=L−1{4s+1}−L−1{3s+2}=(4e−t−3e−2t)u(t)f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{4}{s+1} \right\} - \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{3}{s+2} \right\} = (4e^{-t} - 3e^{-2t})u(t)
其中 u(t)u(t) 是单位阶跃函数。

示例 2：重实根

假设有函数：
F(s)=s2+3s+3(s+1)3F(s) = \frac{s^2 + 3s + 3}{(s+1)^3}

分母有一个三阶重实根 p=−1p = -1。我们可以将其展开为：
F(s)=A1s+1+A2(s+1)2+A3(s+1)3F(s) = \frac{A_1}{s+1} + \frac{A_2}{(s+1)^2} + \frac{A_3}{(s+1)^3}

计算系数：
首先计算 A3A_3：
A3=lim⁡s→−1[(s+1)3F(s)]=lim⁡s→−1(s2+3s+3)=(−1)2+3(−1)+3=1−3+3=1A_3 = \lim_{s \to -1} [(s+1)^3 F(s)] = \lim_{s \to -1} (s^2 + 3s + 3) = (-1)^2 + 3(-1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1

接着计算 A2A_2：
A2=lim⁡s→−1dds[(s+1)3F(s)]=lim⁡s→−1dds(s2+3s+3)A_2 = \lim_{s \to -1} \frac{d}{ds} [(s+1)^3 F(s)] = \lim_{s \to -1} \frac{d}{ds} (s^2 + 3s + 3)
dds(s2+3s+3)=2s+3\frac{d}{ds} (s^2 + 3s + 3) = 2s + 3
A2=lim⁡s→−1(2s+3)=2(−1)+3=−2+3=1A_2 = \lim_{s \to -1} (2s + 3) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1

最后计算 A1A_1：
A1=12!lim⁡s→−1d2ds2[(s+1)3F(s)]=12lim⁡s→−1d2ds2(s2+3s+3)A_1 = \frac{1}{2!} \lim_{s \to -1} \frac{d^2}{ds^2} [(s+1)^3 F(s)] = \frac{1}{2} \lim_{s \to -1} \frac{d^2}{ds^2} (s^2 + 3s + 3)
d2ds2(s2+3s+3)=dds(2s+3)=2\frac{d^2}{ds^2} (s^2 + 3s + 3) = \frac{d}{ds} (2s + 3) = 2
A1=12lim⁡s→−1(2)=12⋅2=1A_1 = \frac{1}{2} \lim_{s \to -1} (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

所以：
F(s)=1s+1+1(s+1)2+1(s+1)3F(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2} + \frac{1}{(s+1)^3}

如果我们要求其拉普拉斯逆变换 f(t)f(t)，则：
f(t)=L−1{1s+1}+L−1{1(s+1)2}+L−1{1(s+1)3}f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s+1} \right\} + \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+1)^2} \right\} + \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+1)^3} \right\}
利用拉普拉斯变换的性质 L−1{n!(s−a)n+1}=tneatu(t)\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \right\} = t^n e^{at} u(t)，我们可以得到：
f(t)=(e−t+te−t+12t2e−t)u(t)f(t) = (e^{-t} + te^{-t} + \frac{1}{2}t^2 e^{-t})u(t)

总结

部分分式展开的关键步骤：

  1. 检查阶数：确保分子多项式的阶数严格小于分母多项式的阶数。如果不是，先进行多项式长除法。
  2. 分解分母：找出分母多项式的所有根（极点）。
  3. 写出展开形式：根据分母根的性质（互异实根、重实根、复共轭根）写出部分分式的和的形式。
  4. 计算系数：
    • 对于互异实根和复共轭根的最高阶项，以及重实根的最高阶项，通常使用留数法。
    • 对于重实根的较低阶项系数，需要使用涉及求导的公式。
    • 对于复共轭根，也可以通过通分后比较系数或代入特定值的方法求解 As+BAs+B 形式中的 AA 和 BB。
  5. 逆变换：将每个简单的部分分式分别进行拉普拉斯逆变换或 Z 逆变换，得到最终的时域表达式。

部分分式展开是信号与系统分析中一个非常实用的数学工具，它使得从频域/Z域返回时域的过程系统化和简单化。熟练掌握各种情况下系数的求解方法至关重要。

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